8.2.3 一元线性回归模型的应用 教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2.3 一元线性回归模型的应用 教学内容 元线性回归模型的应用. 教学目标 （1）能通过具体实例说明修改一元线性回归模型的依据与方法. （2）通过对具体问题的进一步分析，能将某些非线性回归问题转化为线性回归问题并加以解决，提高数学运算素养. （3）能通过实例说明决定系数的意义和作用，提高数据分析素养. 教学重点与难点 （1）教学重点：一元线性回归模型的修改，将非线性回归问题转化为线性回归问题，决定系数的意义和作用. （2）教学难点：运用合适的变换将非线性相关问题转化为线性相关问题，用决定系数判断模型的优劣程度. 教学过程设计 环节一 复习回顾，归纳步骤 例 经验表明，对于同一树种，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据如表8.2-5所示，试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程. 表8.2-5 编号 1 2 3 4 5 6 胸径/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 树高/cm 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 编号 7 8 9 10 11 12 胸径/cm 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2 树高/cm 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7 师生活动 先让学生使用统计软件工具自主解决问题，通过师生互动平台展示学生的学习结果，最后教师进行分析和点评.如果学生不能熟练使用统计软件工具，教师加以适当引导.下面以使用GeoGebra软件为例给出解决问题的具体过程： （l）在GeoGebra表格区两列分别输入树的胸径和树高的观测数据. （2）选中两列，点击工具栏中第2个图标右下角倒三角形下拉标志，选择“双变量回归分析”，出现“数据来源”对话框，点击“分析”键，则在“数据分析”区出现样本数据的散点图8.2-5. 从散点图可以看到，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明这两个变量线性相关，而且是正相关.点击“数据分析”区工具栏的“”，可以看到这组数据的相关系数为0.9657，说明相关性很强，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系. （3）在“数据分析”区的“回归模型”中选择“线性”，调整“选项”菜单的“精确度”中的保留小数的位数（保留4位小数），得到根据最小二乘法计算得到的经验回归方程（如图8.2-6）.若以表示胸径，表示树高，则. （4）在表格区可以根据经验回归方程算出树高的预测值以及相应的残差.操作的方法是：在列的第一行输入“”，按“Enter”键，当光标移动到单元格右下角的小方块上，当光标呈细十字时按住鼠标左键下拉，得到树高的预测值.用类似的方法在列的第一行输入“”，然后下拉充填，求得残差值.从残差表中可以看到，残差在内，有6个正数、6个负数.残差表明随机误差符合一元线性回归模型的假设. （5）在“数据分析”区，选择“残差图”，便可画出残差图8.2-7.观察残差表和残差图，可以看到残差的绝对值最大为0.778，残差点均匀地分布在以横轴为对称轴、宽度小于2m的带状区域内，可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径之间的关系，我们可以由胸径预测树高. 设计意图 通过复习回顾，检查学生对一元线性回归模型掌握的情况，并由此归纳求经验回归方程的一般步骤，要求学生借助统计工具以提高解题效率. 环节二 模型分析，优化方法 问题1 男子短跑100m的高水平运动员常被称为“百米飞人”.表8.2-6给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试根据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程. 表8.2-6 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 时间/年 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 纪录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 师生活动 要求学生按照例题中建立经验回归方程的步骤求解. （1）先要求学生以成对数据中世界纪录产生的时间为横坐标，世界纪录为纵坐标画散点图，计算样本相关系数.根据散点图和样本相关系数判断是否可以用一元线性回归模型刻画时间和纪录之间的关系，即能否用经验回归方程刻画这两个变量之间的关系. 可以使用GeoGebra画出散点图，计算样本相关系数，以此来判断样本数据是否有较强的线性相关关系.通过计算得两组数据的相关系数为-0.8559（如图8.2-8）