8.2.2 一元线性回归模型参数的最小三乘估计教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 教学内容 最小二乘原理，一元线性回归模型参数的最小二乘估计. 教学目标 （1）通过用数学方法刻画散点与直线接近的程度，能解释一元线性回归模型参数的最小二乘估计原理，能用最小二乘法推导参数估计公式，发展数学运算素养. （2）通过对残差和残差图的分析，能用残差判断一元线性回归模型的有效性，发展数据分析素养. （3）会使用相关的统计软件. 教学重点与难点 （1）教学重点：一元线性回归模型参数的最小二乘估计. （2）教学难点：参数估计值公式的推导，利用残差分析回归模型. 教学过程设计 环节一 创设情境，探究“最好” 引导语 为了研究两个变量之间的相关关系，我们建立了一元线性回归模型 表达式刻画的是变量与变量之间的线性相关关系.如果，那么与之间的关系可用一元线性函数模型来描述.换言之，如果没有其他随机因素的影响，由成对样本数据得到的点应该都在某一条直线上.因此我们认为，存在参数和确定的直线反映了与之间的本质关系，使表示成对样本数据的这些散点分布在此直线附近，在整体上与这条直线最接近.与函数模型不同，回归模型的参数一般是无法精确求出的，我们只能通过成对样本数据估计这两个参数. 问题1 你能寻找一条“最好”的直线，使得表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最“接近”吗？ 师生活动 教师在GeoGebra的绘图区画出的9个点，使这些点分布在一条直线的附近，如图8.2-2所示，呈强线性相关，然后将文件发送到每个学生的电脑上，并布置实验任务：画一条直线，使各点在整体上与直线尽可能接近. 在学生独立完成任务的情况下，各小组展开讨论，得到一条各散点在整体上与其最接近的直线. 设计意图 学生自已寻找“最好”的直线，直观感受各散点整体上与直线的接近程度，为后面定量刻画“整体接近程度”奠定基础. 问题2 若需探寻一个衡量标准来定量描述所作出的直线与各散点整体上接近的程度，你认为这个衡量标准是什么？ 师生活动 教师引导学生分析，各散点在整体上接近直线，应从两方面来考虑：一是如何体现散点与直线的接近程度，接近程度的数学化一般是“距离”；二是如何在整体上体现接近程度，整体上接近程度要全面考虑各散点到直线的“距离”，而不是只考虑某个或某些“距离”. 追问1 怎样的量可以科学合理地用来表示散点到直线的“距离”？ 师生活动 学生容易想到用点到直线的距离表示散点到直线的“距离”，教师引导学生回顾所学的距离，还可以用什么距离来表示散点到直线的接近程度.由于回归模型中随机误差越小，越接近，即，可考虑用来表示散点到直线的“距离”.实际上，就是散点到过散点的竖线与直线的交点的距离.引导学生讨论分析两种“距离”哪种更能科学合理表示散点到直线的接近程度.学生通过讨论能明确后一种“距离”是在解释变量不变的情况下表示观测值与响应变量之间的差距，符合实际，且两种距离能相互转化，其实是一回事. 追问2 你能利用各散点到直线的“竖直距离”体现“各散点在整体上与直线的接近程度”吗？ 师生活动 教师引导学生联系方差的概念，讨论分析如何利用各散点到直线的“距离”从整体上表示与直线的接近程度.学生容易想到用距离之和，但绝对值使得计算不方便.联系方差的概念，可以考虑用距离的平方和来体现整体上的接近程度.由此讨论确定用各散点到直线的竖直距离的平方之和来刻画“整体接近程度”. 在确定用“残差平方和”（竖直距离的平方和）作为整体衡量直线与各散点接近的程度以后，要求学生在GeoGebra的输入框中输入，构造一个名为的点列，然后输入“误差平方和”，其中为所画直线的名称（GeoGebra自动命名），就会出现一个计算结果，得到“残差”的平方和.教师可利用师生交互平台，选择学生中残差平方和较小的拟合直线，让学生直观感受一元线性回归模型中回归直线应具有的形态. 设计意图 通过问题2及两个追问，明确一元线性回归模型参数的估计要达到“最好”，就是要找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近，实质上就给出估计模型参数的标准.由此可以产生估计参数的方法.通过GeoGebra的使用，使学生能够比较方便地计算“误差平方和”，使直观比较成为可能，有助于学生理解最小二乘估计的原理. 环节二 推导方程，明确概念 问题3 对于一组具有线性相关关系的数据，利用“残差”平方和最小这个标准，估计一元线性回归模型 的参数和，你能推导出参数和估计值的公式吗？ 师生活动 教师首先引导学生将问题数学化：“残差”平方和为 其中是已知的成对样本数据，由和决定，即它是和的函数，所以问题的本质是求和的值，使最小. 接着，师生合作解决这个问题，得出参数估计公式，可让学生阅读教科书中相关部分，并尝试自己进行公式推导. 最后，教师给出最小二乘法的概念.若是参数的最小二乘估计