1.5全称量词与存在量词课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第1章 集合与常用逻辑用语 1.5 全称量词与存在量词 【输入学校全称】 人教A版 必修 第一册 1 新课导入 思考 下列命题中含有哪些量词？ （1）对所有的实数x，都有≥0； （2）存在实数x，满足≥0； （3）至少有一个实数x，使得-2＝0成立； （4）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n × n； 在命题中出现这些量词，跟命题的判定有啥关系吗？ 思考 2 探究新知 探究 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ 1 (1)x>3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数。 语句(1)(2)不能判断真假，不是命题； 语句(3)(4)可以判断真假，是命题。 新知【1】 全称量词命题 用符号“∀”表示 ∀x ∈ M, p(x) 短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。 含有全称量词的命题，叫全称量词命题。 全称量词命题 “对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立” 表示为: 读作: “对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。 练习 用量词“ ∀ ”表达下列命题： 凸多边形的外角和等于2π; 任一个实数乘以-1都等于它的相反数。 ∀x∈R, x能写成小数形式 ∀x∈{x|x是凸n边形}, x的外角和等于2π ∀x∈R, x·(-1)= -x 练习 判断下列全称量词命题的真假： 所有的素数是奇数； ∀ x∈R， ＋1≥1； 对每一个无理数x， 也是无理数； 2是素数,但不是奇数. ∴是假命题 ∀x∈R,总有≥0,因而+1≥1. ∴是真命题 是无理数，但是有理数. ∴是假命题 延伸 如何判断全称量词命题的真假？ 若判定一个全称量词命题是真命题, 必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立; 方法 若判定一个全称量词命题是假命题, 只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立即可。 探究 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? 2 (3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句; (4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句. (1)2x+1=3 (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x∈R,使2x+1=3; (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. 新知【2】 存在量词命题 短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。 含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 用符号“ ∃”表示 ∃x ∈ M,p(x) 存在量词命题 “存在M中的一个x,使p(x)成立” 表示为: 读作: “存在一个x属于M,使p(x)成立”。 练习 设q(x):x2=x, 使用不同的表达方法写出存在量词命题“∃x∈R,q(x)” 存在实数x,使x2=x成立 至少有一个x∈R,使x2=x成立 对有些实数x,使x2=x成立 有一个x∈R,使x2=x成立 对某个x∈R,使x2=x成立 练习 判断下列存在量词命题的真假： 有一个实数x,使x2+2x+3=0; 平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线; 有些平行四边形是菱形. 由于Δ=−4×3=−8<0 ,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在. ∴是假命题 由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线. ∴是假命题 由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形” ∴是真命题 延伸 如何判断存在量词命题的真假？ 要判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题， 只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可. 方法 如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在, 那么这个存在量词命题是假命题. 探究 写出下列命题的否定 3 存在一个矩形不是平行四边形； 存在一个素数不是奇数； ∃𝑥∈𝑅,+1<0 (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3) . 新知【3】 命题的否定 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个