1.4充分条件与必要条件课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第1章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 【输入学校全称】 人教A版 必修 第一册 1 新课导入 回顾 初中数学，我们学习了命题的相关知识： 命题：可以判断真假的陈述句，可写成：“若p,则q”． 记p:x >2, q:x >0 。 判断命题“若x >2 ，则 x >0”的真假。 真命题 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等。 假命题 2 探究新知 探究 分析刚刚这个真命题的逻辑 1 记 p:x >2, q:x >0 。若 p 成立，则 q 成立。 可以看作只要 p 成立，q 一定成立吗？ 要想 p 成立，是不是 q 必须成立？ 思考 新知【1】 充分条件和必要条件的定义 一般地, 用 𝑝、𝑞 分别表示两个命题,如果命题 𝑝 成立,可以推出命题 𝑞 也成立, 即𝑝⇒𝑞, 那么 𝑝 叫做 𝑞 的充分条件, 𝑞 叫做 𝑝 的必要条件. 记作： 𝑝⇒𝑞 p足以导致q,也就是说条件p充分了； q是p成立所必须具备的前提 探究 刚刚这个真命题，倒过来描述，即为假命题 再分析一下它的逻辑 2 记 p:x >0, q:x >2 。若 p 成立，则 q 成立。 可以看作即使 p 成立，q 也不一定成立吗？ 要想 p 成立，q 没必要一定成立？ 思考 新知【2】 非充分和非必要条件的定义 如果“若𝑝，则𝑞”为假命题，那么由 𝑝 推不出 𝑞 ,记作𝑝≠>𝑞。此时，我们就说 𝑝 不是 𝑞 的充分条件，𝑞 不是 𝑝 的必要条件。 记作： 𝑝 ⇏ 𝑞 p不足以导致q,也就是说条件p不充分了； q并不是p成立所必须具备的前提 练习 1. 下列“若𝑝，则𝑞”形式的命题中，哪些命题中的 𝑝是𝑞的充分条件： 这是一条平行四边形的判定定理，𝑝⇒𝑞 所以p是q的充分条件。 这是一条相似三角形的判定定理，𝑝⇒𝑞 所以p是q的充分条件。 这是一条菱形的性质定理，𝑝⇒𝑞 所以p是q的充分条件。 练习 由于 (−1)^2=1, 但−1≠1, 𝑝≠⟩𝑞, 所以p不是q的充分条件。 由等式的性质知，𝑝⇒𝑞，所以p是q的充分条件。。 为无理数，但为有理数， 𝑝≠⟩𝑞, 所以p不是q的充分条件。 1. 下列“若𝑝，则𝑞”形式的命题中，哪些命题中的 𝑝是𝑞的充分条件： 延伸 上述练习中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件， 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形; 这样的充分条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的充分条件吗？ 四边形的两组对边分别相等 四边形的一组对边平行且相等 四边形的两条对角线互相平分 都是其充分条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。 练习 2. 下列“若𝑝，则𝑞”形式的命题中，哪些命题中的 𝑞是𝑝的必要条件： 若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等; 若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例; 若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形为菱形； 这是一条平行四边形的性质定理，𝑝⇒𝑞 所以q是p的必要条件。 这是一条相似三角形的性质定理，𝑝⇒𝑞 所以q是p的必要条件。 如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，𝑝⇏𝑞 所以q不是p的必要条件。 练习 2. 下列“若𝑝，则𝑞”形式的命题中，哪些命题中的 𝑞是𝑝的必要条件： = -1时，显然 𝑝⇏𝑞 所以q不是p的必要条件。 =0情况，显然𝑝⇏𝑞 所以q不是p的必要条件。 无理数，但1, 不全是无理数，𝑝⇏𝑞 所以q不是p的必要条件。 延伸 上述练习中命题①给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件， 若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等; 这样的必要条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的必要条件吗？ 四边形的两组对边分别相等 四边形的一组对边平行且相等 四边形的两条对角线互相平分 都是其必要条件 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。 探究 下列“若P，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ 3 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则 若𝐴∪𝐵是空集，则A与B均是空集 ①③的逆命题都是真命题，p即是q的充分又是必要条件？ 思考 新知【3】 充要条件 一般地,如果既有pq ，又有qp 就记作 p  q. 此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件. 记作： p  q 即：如果p  q, 那么p 与 q互为充要条件 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.(p等价于q) 延伸