山东省实验中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

山东省实验中学2023级高一第二学期第一次阶段测试 数学试题 2024.03 说明： 本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知，，，则（ ） A.， B.， C.， D.， 2.在中，为的重心，满足（，），则（ ） A. B. C.0 D. 3.已知，，，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C.0 D.1 4.已知，是夹角为120°的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B.2 C. D. 5.在中，为边上一点，满足，，，则（ ） A. B.6 C. D. 6.某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠穆朗玛峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆（在水平面）垂直于水平面，水平面上两点，的距离为，测得，，其中，在点处测得旗杆顶点的仰角为，，则该旗杆的高度为（单位：）（ ） A.9 B.12 C.15 D.18 7.在中，角，，所对的边分别为，，，且，设的面积为，若，则此三角形的形状为（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若.，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在中，，为线段上一点，且有，，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C.的最大值为 D.的最小值为 10.下列说法正确的是（ ） A.已知向量，，则“与共线”是“”的充要条件 B.已知非零向量，满足，则 C.若为的外心，且，则是等边三角形 D.已知单位向量，，满足，则 11.的内角，，的对边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C.角的最大值为 D.面积的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在中，角，，的对边分别是，，，，，，则______. 13.若在中，，，，则______. 14.如图，半径为1的扇形中，，是弧上的一点，且满足，，分别是线段，上的动点，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 复数，其中. （1）若复数为实数，求的值； （2）若复数为纯虚数，求的值. 16.（15分） 已知向量，（）. （1）若，求的值； （2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17.（15分） 在中，已知，. （1）求的大小； （2）请从条件①：；条件②：这两个条件中任选一个作为条件，求和的值. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（17分） 在，角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值. 19.（17分） “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值. 山东省实验中学2023级高一第二学期第一次阶段测试 数学试题答案 2024.03 第Ⅰ卷 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A B B B C C 二、多项选择题 9 10 11 BC BCD ABC 第Ⅱ卷 三、填空题 12.30° 13. 14.1 四、解答题 15.答案：（1）5或 （2）3 解析：（1）由复数为实数，得， 解得或. （2）由复数为纯虚数，得，解得. 16.答案：（1）或1 （2） 解析：（1）， ∵，∴， ∴，即 解得或 （2）当时， ∵与的夹角为锐角， ∴，解得： ∴的取值范围是. 17.（1）中，因为，所以 由正弦定理得：，所以 所以或. （2）选条件①：，则，所以（舍去）. 此时，，，， 所以 . 即 由余弦