考点练7函数与导数-2024届高三数学一轮复习

考点练7　函数与导数 考点一：利用导数证明不等式——“同构”构造新函数　 1．已知函数f(x)＝ln x－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2).求证：x1x2>e2. 2．[2020·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a. (1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f(x)≥1，求a的取值范围． 考点二：利用导数证明不等式——放缩法　 1．已知函数f(x)＝aex－ln x－1. (1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间； (2)证明：当a≥时，f(x)≥0. 2．设函数f(x)＝ex＋a·sin x＋b(a，b为实数)，且曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为x－y－1＝0. (1)求a，b的值； (2)求证：当x∈(0，＋∞)时，f(x)>ln x． 考点三：利用导数证明不等式——隐零点法　 1．已知函数f(x)＝a ln x＋x＋1(a≠0). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝1时，求证：f(x)≤xex. 2．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)证明不等式ex－2－ax>f(x)恒成立． 考点四：利用导数证明不等式——极值点偏移 1．[2023·辽宁丹东模拟]已知函数f(x)＝2a ln x－x2＋2(a－1)x＋a. (1)若a＝1，证明：f(x)<2x－x2； (2)若f(x)有两个不同的零点x1，x2，求a的取值范围，并证明：x1＋x2>2a. 2．已知函数f(x)＝(a≠0). (1)若对任意的x∈R，都有f(x)≤恒成立，求实数a的取值范围； (2)设m，n是两个不相等的实数，且m＝nem－n.求证：m＋n>2. 考点五：利用导数解决“双变量”问题　 1．已知函数f(x)＝ax＋ln x. (1)求f(x)的极值； (2)设g(x)＝x2－2x＋2，若∀x1∈(0，＋∞)，∃x2∈[0，1]，使得f(x1)<g(x2)，求实数a的取值范围． 2．已知函数f(x)＝x ln x＋x2－x(a∈R)，且f(x)在(0，＋∞)内有两个极值点x1，x2(x1<x2). (1)求实数a的取值范围； (2)求证：a＋<0. 考点六:利用导数求解函数零点问题　 1．[2023·安徽砀山模拟]已知函数f(x)＝. (1)若m＝－2，求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程； (2)若x＝0为函数f(x)的极值点，且函数g(x)＝f(x)－λ有两个零点，求实数λ的取值范围． 2．已知函数f(x)＝ex－a ln (x＋b)，其中a，b为常数，e是自然对数的底数．参考数据：ln 2≈0.693，e≈2.718. (1)若a＝b＝2，证明：f(x)≥1－2ln 2； (2)若b＝1，a≥4，判断f(x)的零点个数． 参考答案 考点一：利用导数证明不等式——“同构”构造新函数　 1．证明：不妨设x1>x2>0， 因为ln x1－ax1＝0，ln x2－ax2＝0， 所以ln x1＋ln x2＝a（x1＋x2），ln x1－ln x2＝a（x1－x2），所以＝a， 欲证x1x2>e2，即证ln x1＋ln x2>2. 因为ln x1＋ln x2＝a（x1＋x2）， 所以即证a>，所以原问题等价于证明>， 即ln >，令c＝（c>1），则不等式变为ln c>. 令h（c）＝ln c－，c>1，所以h′（c）＝－＝>0， 所以h（c）在（1，＋∞）上单调递增， 所以h（c）>h（1）＝ln 1－0＝0， 即ln c－>0（c>1），因此原不等式x1x2>e2得证． 2．解析： （1）∵f（x）＝ex－ln x＋1，∴f′（x）＝ex－，∴k＝f′（1）＝e－1. ∵f（1）＝e＋1，∴切点坐标为（1，1＋e）， ∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y－e－1＝（e－1）（x－1），即y＝（e－1）x＋2， ∴切线与坐标轴交点坐标分别为（0，2），（，0）， ∴所求三角形面积为×2×||＝. （2）f（x）＝aex－1－ln x＋ln a＝eln a＋x－1－ln x＋ln a≥1等价于eln a＋x－1＋ln a＋x－1≥ln x＋x＝eln x＋ln x. 令g（x）＝ex＋x，上述不等式等价于g（ln a＋x－1）≥g（ln x）， 显然g（x）为单调增函数，∴又等价于ln a＋x－1≥ln x， 即ln a≥ln x－x＋1， 令h（x）＝ln x－x＋1，则h′（x）＝－1＝， 在（0，1）上h′（x）>0，h（x）单调递增；在（1，＋∞）上h′（x）<0，h（x）单调递减， ∴h（x）max＝h（1