7.5正态分布3题型分类-解题秘籍：2023-2024学年高二数学同步知识·题型讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

7.5正态分布3题型分类 一、连续型随机变量 除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. 二、正态曲线 函数，其中,为参数.显然对于任意，，它的图象在轴的上方，可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. 三、正态曲线的特点 1．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； 2．曲线在x＝μ处达到峰值； 3．当无限增大时，曲线无限接近x轴． 四、正态分布 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 五、正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 六、3σ原则 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. （一） 正态曲线图象的应用 正态曲线的特点 1．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． 2．曲线在x＝μ处达到峰值． 3．当无限增大时，曲线无限接近x轴． 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式． 题型1：正态曲线图象的应用 1-1．（2024高二下·江苏常州·期中）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 1-2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 1-3．（2024高二·全国·课时练习）已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝ ，方差σ2= . 1-4．（2024高二下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，是当取不同值的三种正态曲线的图象，那么的关系是（ ） A． B． C． D． （二） 由正态分布求概率 利用正态分布求概率的两个方法： (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 题型2：由正态分布求概率 2-1．（2024高二下·陕西西安·期末）已知，且，则 ， ． 2-2．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知随机变量服从，且，则 . 2-3．（2024·广东汕头·三模）某省2024年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为 分（结果保留1位小数） 附：若，． 2-4．（2024高二·全国·课时练习）在2024年6月某区的高二期末质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是 ．附:若,则，. 2-5．（2024高二下·江苏连云港·期末）为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健