26.1反比例函数(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年九年级下册数学高频易错重难点培优讲义（人教版）

26.1反比例函数 板块一：知识精讲 1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 2．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 3．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 4．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 5．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 6．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 7．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点． 板块二：典题精练 一、单选题 1．下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各点中，在反比例函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 3．已知点与点都在反比例函数的图象上，则a与b的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 4．函数与在同一直角坐标系内的图象只可能是（    ） A．B． C．D． 5．如图所示，是函数的图象在第一象限分支上的三个点，且，过A、B、C三点分别作坐标轴的垂线，得矩形、、，它们的面积分别为、、，则下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．若函数y＝2x+k的图象与y轴的正半轴相交，则函数的图象所在的象限是（　　） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第二、四象限 D．第一、三象限 7．如图，已知，将线段向右平移d个单位长度后，点恰好同时落在反比例函数 （）的图象上，则d等于(    )                                                                                                                   A．3 B．4 C．5 D．6 8．甲乙两地相距，汽车从甲地以（的速度开往乙地，所需时间是，则正确的是（      ） A．当为定植时，与成反比例 B．当为定植时，与成反比例 C．当为定植时，与成反比例 D．以上三个均不正确 9．下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ）． A． B． C． D． 10．函数y＝x和在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，如图，反比例