2024年中考数学二轮复习重难点突破课件：专题4 等腰三角形中的“倍半角”问题

专题4　等腰三角形中的“倍半角”问题 一、 知识储备 模型1　等腰三角形＋倍半角 如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，则∠CAD＝2∠B. 模型2　角平分线＋倍半角 如图②，若BP平分∠ABC，则∠ABC＝2∠ABP＝2∠PBC. 　 [解题策略] 策略1　由“倍角”造“半角”，将“倍角”半分 策略2　由“半角”造“倍角”，将“半角”加倍 利用策略1和策略2的常见辅助线的作法（已知∠C＝2∠B）如图所示. 　 　 　 二、 典例解析 例1 如图①，在△ABC中，∠BAC＝40°，AB＝AC，P为边AB上的一点，且∠ACP＝20°，求的值. 策略1　由“倍角”造“半角”，将“倍角”半分 方法1　见角平分线，作双垂线 例1图② 如图②，延长BA至点D，使AD＝AC，连接CD，则∠D＝∠ACD＝20°，且AD＝AB.易证CA平分∠PCD.过点A分别作CD，CP的垂线，垂足分别为G，H，则AG＝AH.∵∠ACP＝20°，∠BAC＝40°，∴ ∠APH＝20°＋40°＝60°.∵ 易证BC＝2AG，∴ BC＝2AH.∴ ＝＝2sin∠APH＝2sin60°＝. 策略2　由“半角”造“倍角”，将“半角”加倍 方法2　相似法 如图③，在AC上取点D，使PD＝CD，则∠ADP＝2∠ACP＝40°＝∠BAC.∴ AP＝PD＝CD.∴ AB－AP＝AC－CD，即BP＝AD.过点P作PG⊥AD于点G，过点B作BH⊥PC于点H.∵ 易证△BCH∽△APG，∴ ＝＝＝＝2sin∠BPH.∵ ∠BPH＝∠BAC＋∠ACP＝60°，∴ ＝2sin60°＝. 例1图③ 策略3　定弦定角，现隐圆 方法3　导边导角 如图④，作△BCP的外接圆☉O，连接OB，OC，OP， 连接AO并延长，交BC于点M.∵ AB＝AC，OB＝OC， ∴ 易证AO垂直平分BC.∴ ∠OAP＝∠BAC＝20°.又∵ 易得∠BOP＝2∠BCP＝100°，∴ ∠OPB＝40°.∴ ∠AOP＝20°.∴ AP＝OP＝OB.∵ ∠BPC＝∠BAC＋∠ACP＝60°，∴ ∠BOC＝120°.又∵ 易得∠BOM＝∠BOC＝60°，∴ ＝＝2sin∠BOM＝2sin60°＝. 例1图④ 变式训练⁠ ⁠ 1. 如图，在等边三角形ABC中，P为AB上一点，∠A＝2∠ACP，则＝ 　2　⁠. 第1题 2 解析：在等边三角形ABC中，AC＝BC，∠A＝60°.∵ ∠A＝2∠ACP，∴ ∠ACP＝30°.在△ACP中，∠APC＝180°－30°－60°＝90°.∴ ＝sin30°＝.∵ AC＝BC，∴ ＝2. 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，P为AB上一点，∠A＝2∠ACP.求证： ＝2sin∠BPC. 证明：如图，作边BC上的中线AD，并以CA为一边作∠ACO＝∠BAC，另一边与AD交于点O.∵ AB＝AC，AD为中线，∴ ∠CAO＝∠BAC，BC＝2CD.∵ ∠BAC＝2∠ACP，∴ ∠CAO＝∠ACP.又∵ AC＝CA，∠ACO＝∠CAP，∴ △ACO≌△CAP.∴ CO＝AP，∠COA＝∠APC.∴ 180°－∠APC＝180°－∠COA，即∠BPC＝∠COD.又∵ CD＝CO·sin∠COD，∴ CD＝AP·sin∠BPC.∴ BC＝AP·sin∠BPC.∴ ＝2sin∠BPC. 三、 巩固练习 1. （2023·龙华二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，连接CD.若∠ACD＝2∠B，＝，则的值是（　B　） A. B. C. D. B 1 2 3 解析：如图，作∠ACD的平分线CE，交AB于点E.∴ ∠ACD＝2∠ACE＝2∠DCE.∵ ∠ACD＝2∠B，∴ ∠ACE＝∠DCE＝∠B.∵ ∠CAE＝∠BAC，∴ △ACE∽△ABC.∴ ∠AEC＝∠ACB＝90°，＝. ∴ ∠DEC＝90°，AC2＝AE·AB.在△ACE和△DCE中， ∴ △ACE≌△DCE.∴ AC＝DC，AE＝DE.设AE＝DE＝x，则AD＝2x.∵ ＝，∴ BD＝8x.∴ AB＝BD＋AD＝10x.∴ AC2＝x·10x＝10x2.∴ CD＝AC＝x.∴ BC＝＝＝3x.∴ ＝＝. 1 2 3 2. （2023·宝安二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D为BC的中点，∠C＝2∠BAD，则的值为 　​　⁠. ​ 解析：如图，延长CB至点E，使BE＝BD，连接AE. 设BD＝BE＝a.∵ D为BC的中点，∴ CD＝BD＝a.∴ CE＝3a.∵ ∠ABC＝90°，∴ ∠ABD＝∠ABE.又∵ AB＝AB，∴ △ABD≌△ABE.∴ ∠BAD＝∠BAE，∠ADE＝∠E，AD＝AE.∴ ∠EAD＝2∠BAD.∵ ∠C＝2∠BAD，∴ ∠C＝∠EAD.∴ ∠A