第二章一元二次函数、方程和不等式章末复习学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

成化高级中学2023级高一数学备课组 第二章——章末复习 一、不等式及其性质 例1、(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B (2) （多选）若非零实数a，b满足a<b，则下列不等式不一定成立的是(　　) A.<1 B.＋≥2 C.< D．a2＋a<b2＋b 变式、已知－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c≤5，求9a－c的取值范围为 二、利用基本不等式求最值 1.直接利用基本不等式 例2、若x>0，则x＋－的最小值是__________． 2.巧用“1”的代换求最值问题 例3、若x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 变式、若x>0，y>0，x＋y＝1，求＋的最小值． 延申、已知x，y是正数且x＋y＝1，则＋的最小值为(　　) A. B. C．2 D．3 3.分离消元法求最值（构造不等式） 例4、已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值． 变式、已知x>0，y>0，xy＝x＋y＋3，求xy的最小值． 三、一元二次不等式的解法 例5、若不等式ax2＋5x－2>0的解集是. (1)求a的值； (2)求不等式>a＋5的解集． 变式、解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章——章末复习 一、不等式及其性质 例1　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B 答案　B 解析　∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2) ＝2＋b2≥0， ∴A≥B. (2) （多选）若非零实数a，b满足a<b，则下列不等式不一定成立的是(　　) A.<1 B.＋≥2 C.< D．a2＋a<b2＋b 答案　ABD 解析　当a<b<0时，<1不成立； 当<0时，＋≥2不成立； 因为－＝<0，则<一定成立； 因为a2－b2＋a－b＝(a－b)(a＋b＋1)符号不定，故a2＋a<b2＋b不一定成立． 变式、已知－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c≤5，求9a－c的取值范围为 解：令解得∴9a－c＝y－x.∵－4≤x≤－1，∴≤－x≤　①.∵－1≤y≤5，∴－≤y≤　②.①＋②，得－1≤y－x≤20，∴－1≤9a－c≤20. 二、利用基本不等式求最值 直接利用基本不等式 例1、若x>0，则x＋－的最小值是__________． 答案　0 解析　x＋－＝x＋＋－2≥0， 当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立， 故x＋－的最小值是0. 巧用“1”的代换求最值问题 例1　若x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 解　∵＋＝1，x>0，y>0， ∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16， 当且仅当＝即x＝4，y＝12时，等号成立． 即x＋y的最小值为16. 变式、若x>0，y>0，x＋y＝1，求＋的最小值． 解　∵x＋y＝1，x>0，y>0， ∴＋＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16， 当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立， 即＋的最小值为16. 延申、已知x，y是正数且x＋y＝1，则＋的最小值为(　　) A. B. C．2 D．3 答案　B 解析　由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝4， 即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1， ∴＋ ＝·[(x＋2)＋(y＋1)] ＝≥×(5＋4)＝， 当且仅当＝， 即x＝，y＝时等号成立． ∴＋的最小值为. 二、分离消元法求最值（构造不等式） 例2　已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值． 解　由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝， 因为x>0，y>0，所以0<x<8. 所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝4， 当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立． 所以x＋2y的最小值为4. 延伸探究　已知x>0，y>0，xy＝x＋y＋3，求xy的最小值． 解　由题意可知y＝， 所以xy＝x·＝＝＝x－1＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立． 所以xy的最小值为9. 三、一元二次不等式的解法 例3　若不等式ax2＋5x－2>0的解集是. (1)求a的值； (2)求不等式>a＋5的解集． 解　(1)依题意，可得方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，且a<0. 由根与系数的关系，得解得a＝－2. (2)将a＝－2代入不等式，得>3， 即－3>0， 整理得>0，即(x＋1)(x＋2)<0， 解得－2<x<－1， 则不等式的解集为{x|－2<x<－1}． 变式、解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<