2.3一元二次不等式的应用（第二课时）学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019 ）必修第一册

成化高级中学2023级高一数学备课组 2.3一元二次不等式的应用（第二课时） 【学习目标】1.熟练掌握分式不等式的解法． 2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系． 3.构建一元二次函数模型，解决实际问题． 【学习重难点】 重点：理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系． 难点：一元二次不等式的应用 【学习过程】 一、复习回顾 1．解不等式：. （2）解关于的不等式. 一、解简单的分式不等式 问题　与等价吗？与等价吗？ 例1、解下列不等式： (1) ； (2) ； (3) . 总结分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解． 二、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 例2、已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集． 变式、若本例中条件不变，求关于的不等式的解集． 三、与二次有关的恒成立和能成立（存在性）问题 例3、（1）已知，不等式恒成立，求实数的取值范围． 总结一元二次不等式在上恒成立的情况(四种): （2）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围为________________． 变式、（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【当堂训练】 1．不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 2．若关于的不等式的解集为，则实数的值为________． 3．若对于任意，都有意义，则的取值范围是________． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3一元二次不等式的应用（第二课时） 【学习目标】 1.熟练掌握分式不等式的解法． 2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系． 3.构建一元二次函数模型，解决实际问题． 【学习重难点】 重点：理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系． 难点：一元二次不等式的应用 【学习过程】 一、复习回顾 1．解不等式：－2<x2－3x≤10. 解：原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2－3x＋2>0，即(x－1)(x－2)>0， 解得x>2或x<1. 不等式②可化为x2－3x－10≤0，即(x－5)(x＋2)≤0， 解得－2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|－2≤x<1或2<x≤5}． 2、解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0. 解：原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0， 讨论a＋1与2(a－1)的大小． ①当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)． ②当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4. ③当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x<a＋1. 综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}， 当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}， 当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)或x<a＋1}． 一、解简单的分式不等式 问题　>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？≥0与(x－3)(x＋2)≥0等价吗？ 提示　>0与(x－3)(x＋2)>0等价； ≥0与(x－3)(x＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2. 例1、解下列不等式： (1)<0； (2)≥0； (3)>1. 解　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0， ∴－1<x<， 故原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0， ∴∴ 即－<x≤1. 故原不等式的解集为. (3)原不等式可化为－1>0， ∴>0，即>0， 则x<－2. 故原不等式的解集为{x|x<－2}． 总结分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解． 二、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 例2、已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 解　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系可知＝－5，＝6. 故＝－， 又由a<0知c<0，故不等式cx2＋bx＋a<