2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019 ）必修第一册

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 【学习目标】1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系． 2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 3.借助一元二次函数的图象，理解三个“二次”的联系． 【教学重点与难点】 1. 重点 用二次函数的观点统一认识一元二次方程和一元二次不等式，能够利用数形结合推导出求解一元二次不等式的方法. 2. 难点 建立二次函数与一元二次不等式的联系以及含参数的一元二次不等式的解法. 【学习过程】 一、知识复习 例1、分解下列因式： (1)； (2) ； (3) ； (4) ． 二、一元二次不等式的概念 问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是，围成的矩形区域的面积要大于，则这个矩形的边长要满足什么条件？ 知识梳理 定义 一般地，我们把只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 或，其中均为常数， 例2、下列不等式中是一元二次不等式的为(　　) A． B． C． D. 训练、若把看成关于的一元二次不等式，则的二次项系数为________． 三、一元二次不等式的解法 问题2　如课本51页图2.3－1，二次函数的图象与轴有两个交点，这与方程的根有什么关系？ 1．一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 注意点：零点不是点，而是函数的图象与轴交点的横坐标． 继续观察，二次函数的两个零点将轴分成三段，每一段（不包括零点）对应的函数图象的特点（重点观察函数值）？ 问题3　你能从二次函数的图象上找到的解集吗？ 总结三个二次的关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意点：(1)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． 例3、解下列不等式： (1) ； (2) ； (3) . 总结：解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 四、含参的一元二次不等式的解法 例4、解关于的不等式． 总结　在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根()，两相同实根()，无根()． (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：，，. 变式、解关于的不等式. 【当堂训练】 1．函数的零点是(　　) A． B． C． D． 2．不等式的解集为(　　) A. B. C． D． 3. 若，则不等式的解集为________． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 【学习目标】1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系． 2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 3.借助一元二次函数的图象，理解三个“二次”的联系． 【学习重难点】 1. 重点 用二次函数的观点统一认识一元二次方程和一元二次不等式，能够利用数形结合推导出求解一元二次不等式的方法。 2. 难点 建立二次函数与一元二次不等式的联系以及含参数的一元二次不等式的解法。 【学习过程】 一、知识衔接 例1　分解下列因式： (1)x2＋4x＋3； (2)5x2－6x＋1； (3)m2＋2mn－3n2； (4)ax2＋(a－1)x－1(a≠0)． 解　(1)x2＋4x＋3＝(x＋1)(x＋3)． (2)5x2－6x＋1＝(x－1)(5x－1)． (3)m2＋2mn－3n2＝(m＋3n)(m－n)． (4)ax2＋(a－1)x－1＝(ax－1)(x＋1)(a≠0)． 二、一元二次不等式的概念 问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长要满足什么条件？ 提示　设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x)m. 由题意，得(12－x)x>20，其中x∈{x