2.2 基本不等式（第一课时） 学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019 ）必修第一册

2.1基本不等式（第一课时） 【学习目标】1.了解基本不等式的证明过程. 2.掌握基本不等式． 3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【教学重点与难点】 重点：基本不等式的定义，证明和几何解释. 难点:基本不等式的理解与简单应用. 【学习过程】 一、基本不等式的内容与证明 问题1　如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？ 问题2　如果，我们用分别替换上式中的，能得到什么样的结论？ 基本不等式的内容： 1．基本不等式：如果，则，当且仅当 时，等号成立． 2．其中，叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 3．两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 问题3　基本不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的都能成立？请给出证明． 问题4　如图，是圆的直径，点是上一点，，过点作垂直于的弦，连接，你能用该图形解释基本不等式吗？ 二、基本不等式的理解 例1、(多选)下列说法正确的是(　　) A．对成立 B．若且，则 C．对 D．若，则中可以取等号 变式、(多选)下面四个推导过程正确的有(　　) A．若为正实数，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例2、已知都为正数，证明： (1)如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值. 总结： 例3、已知，求的最小值． 延伸拓展：1．当时，求的最大值． 延伸拓展：2．当时，求的最小值． 总结使用基本不等式的几个注意点： 变式、(1)函数的最大值是(　　) A．4 B．5 C．－2 D．2 (2)已知，，则的最大值是(　　) A. B．2 C．2 D．4 例4、已知是互不相等的正数，且. 求证：.（提示：常数代换） 【当堂训练】 1．已知正数满足，则取得最小值时的值分别为(　　) A．2,2 B．2,4 C．4,4 D．4,2 2．已知，则的最大值为 ______. 3. 设，且，在下列四个数中最大的是(　 ) A. B． C． D． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2基本不等式（第一课时） 【学习目标】1.了解基本不等式的证明过程. 2.掌握基本不等式≤(a>0，b>0)．(重点) 3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(难点) 【学习重难点】 1. 重点：基本不等式的定义，证明和几何解释. 2.难点:基本不等式的理解与简单应用. 【学习过程】 一、基本不等式的内容与证明 问题1　如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？ 提示　重要不等式：对∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 问题2　如果a>0，b>0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ 提示　用，分别替换上式中的a，b可得到a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．我们习惯表示成≤. 基本不等式的内容： 1．基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 3．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 问题3　基本不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明． 提示　方法一　(作差法) －＝＝＝≥0，即≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 方法二　(分析法)（需要对学生进行讲解，分析法的流程） 要证≤， 只需证2≤a＋b， 只需证2－a－b≤0， 只需证－(－)2≤0， 显然(－)2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立． 问题4　如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，你能用该图形解释基本不等式吗？ 二、基本不等式的理解 例1、 (多选)下列说法正确的是(　　) A．对∀a，b∈R，≥成立 B．若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2 C．对∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab D．若x>2，则x＋≥2中可以取等号 答案　BC 解析　A项，当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立； D项，x＋≥2＝2时取等号的条件为无解，不等式中不可取等号． 总结：利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足． 变式、(多选)下面四个推导过程正确的有