2.2 基本不等式（第二课时）学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

成化高级中学2023级高一数学备课组 2.1基本不等式（第二课时） 【学习目标】1.熟练掌握基本不等式及变形的应用． 2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题． 3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题． 【学习重难点】 重点：运用基本不等式解决简单的最值问题. 难点：对实际问题的分析建模和使用基本不等式的结构观察. 【学习过程】 一、复习回顾 1．判断正误： (1)若且，则.(　 ) (2)6和8的几何平均数为.(　 ) (3)对任意均成立．(　 ) (4)若，则.(　 ) (2)设，则下列不等式正确的是(　 ) A． 　 B． C． 　　 D. (3)已知，则之间的大小关系是________． 二、基本不等式求最值 例1、已知，且，求的最小值．（条件求最值） 拓展：若，且，求的取值范围. 三、基本不等式的实际应用 例2、小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度． 延伸探究、如果小明的爸爸只有长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？ 总结：利用基本不等式解决实际问题的步骤 例3、如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米，当＝______时，矩形花坛的面积最小． 四、基本不等式的综合应用 例4、已知时，不等式恒成立，则实数的取值范围是(　 ) A． B． C． D． 变式、已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是(　 ) A． B． C． D． 【当堂训练】 1． (1)已知，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，求 的最大值． 2．已知，若恒成立，则的取值范围是________． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2基本不等式（第二课时） 【学习目标】 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用．(重点) 2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题．(难点) 3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题．(难点) 【学习重难点】 重点：运用基本不等式解决简单的最值问题. 难点：对实际问题的分析建模和使用基本不等式的结构观察. 【学习过程】 一、复习回顾 1．判断正误： (1)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2 .(　 ) (2)6和8的几何平均数为2.(　 ) (3)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立．(　 ) (4)若a≠0，则a＋≥2 ＝2.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　 (3)×　(4)× (2)设0<a<b，则下列不等式正确的是(　 ) A．a<b<< 　 B．a<<<b C．a<<b< 　　 D.<a<<b 法一：∵0<a<b，∴a<<b，排除A、C两项. 又－a＝(－)>0，即>a，排除D项，故选B. 法二：取a＝2，b＝8，则＝4，＝5， 所以a＜＜＜b. 故选B. (3)已知m＝a＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________． 因为a>2，所以a－2>0， 又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立．由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝2－b2<4，综上可知m>n. 二、基本不等式求最值 例1、已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．（条件求最值） [解]　法一：1的代换　∵＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋. ∵x＞0，y＞0，∴＋≥2＝6. 当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立． 又＋＝1， ∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16. ∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 法二：消元法（通法）　由＋＝1，得x＝. ∵x＞0，y＞0，∴y＞9. x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝(y－9)＋＋10. ∵y＞9，∴y－9＞0， ∴y－9＋≥2＝6. 当且仅当y－9＝，即y＝12时，等号成立，此时，x＝4.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 拓展：若，且，求的取值范围 （也可以选择消元法） 三、基本不等式的实际应用 例2、小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度． 解　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y)m. 方法一　由已知得xy＝16， 由≥，可知x＋y≥2＝8， 所以2(x＋y)≥16， 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 方法二　由已知xy＝16，