2.1 不等关系与不等式（第二课时）学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019 ）必修第一册

2.1等式性质与不等式性质（第二课时） 【学习目标】1.通过了解等式的性质;掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 2.通过对不等式性质的证明，体会类比思想在数学中的应用，提升逻辑思维能力和数学思维的严密性. 【学习重难点】 重点：不等式的基本性质 难点：不等式性质的证明与综合应用 【学习过程】 问题1 如何求方程5x+4=0的解？解方程的理论依据是什么？ 问题2 类比等式 的基本性质，你能猜想不等式的基本性质吗？并进行证明吗？ 注意点： 【典例分析】 例1、(多选)已知实数a，b，c，d满足a>b>c>d，则下列选项中不正确的是(　　) A．a＋d>b＋c B．a＋c>b＋d C．ad>bc D．ac>bd 变式、(多选)下列四个结论正确的是(　 ) A．a>b，c<d⇒a－c>b－d B．a>b>0，c<d<0⇒ac>bd C．a>b>0⇒a3>b3 D．a>b>0⇒> 二、利用不等式的性质证明不等式 例2　已知c>a>b>0，求证：>. 变式、在本例条件不变的情况下，求证：>. 三、利用不等式的性质求代数式的取值范围 例3　已知－6<a<8,2<b<3，求2a＋b，a－b及的取值范围． 变式、已知－1<2a＋b<2,3<a－b<4，求5a＋b的取值范围． 【当堂训练】 1．与a>b等价的不等式是(　　) A．|a|>|b| B．a2>b2 C.>1 D．a3>b3 2．(多选)已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．ac2>bc2⇒a>b B.>⇒a>b C.⇒> D.⇒> 3．用不等号“>”或“<”填空： (1)如果a>b，c<d，那么a－c________b－d； (2)如果a>b>0，c<d<0，那么ac________bd； (3)如果a>b>0，那么________； (4)如果a>b>c>0，那么________. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2基本不等式（第二课时） 【学习目标】 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用．(重点) 2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题．(难点) 3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题．(难点) 【学习重难点】 重点：运用基本不等式解决简单的最值问题. 难点：对实际问题的分析建模和使用基本不等式的结构观察. 【学习过程】 一、复习回顾 1．判断正误： (1)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2 .(　 ) (2)6和8的几何平均数为2.(　 ) (3)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立．(　 ) (4)若a≠0，则a＋≥2 ＝2.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　 (3)×　(4)× (2)设0<a<b，则下列不等式正确的是(　 ) A．a<b<< 　 B．a<<<b C．a<<b< 　　 D.<a<<b 法一：∵0<a<b，∴a<<b，排除A、C两项. 又－a＝(－)>0，即>a，排除D项，故选B. 法二：取a＝2，b＝8，则＝4，＝5， 所以a＜＜＜b. 故选B. (3)已知m＝a＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________． 因为a>2，所以a－2>0， 又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立．由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝2－b2<4，综上可知m>n. 二、基本不等式求最值 例1、已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．（条件求最值） [解]　法一：1的代换　∵＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋. ∵x＞0，y＞0，∴＋≥2＝6. 当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立． 又＋＝1， ∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16. ∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 法二：消元法（通法）　由＋＝1，得x＝. ∵x＞0，y＞0，∴y＞9. x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝(y－9)＋＋10. ∵y＞9，∴y－9＞0， ∴y－9＋≥2＝6. 当且仅当y－9＝，即y＝12时，等号成立，此时，x＝4.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 拓展：若，且，求的取值范围 （也可以选择消元法） 三、基本不等式的实际应用 例2、小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度． 解　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y)m. 方法一　由已知得xy＝16， 由≥，可知x＋y≥2＝8， 所以2(x＋y)≥16， 当且仅当x＝y＝4时，等号成立，