高中数学公式及知识点速记（五）数列、导数-2025届高三数学一轮复习

高中数学公式及知识点速记（五） 十二、数列 1、数列的通项公式、递推公式、前项和 通向公式： 递推公式： 前项和： 2、数列的通项公式与前项和的关系 ( 数列的前n项的和为). 3、等差数列 ①等差数列的通项公式 ②等差数列其前项和公式 4、等差数列的常用性质 （1）若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq （2）若{an}为等差数列，且2m＝p＋q(m，p，q∈N*)，则2am＝ap＋aq，称am为ap和aq等差中项 （3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)仍是等差数列，公差为md （4）若{an}是等差数列，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d （5）若{an}，{bn}均为等差数列，且其前n项和为Sn，Tn，则＝ （6）若{an}，{bn}均为等差数列，公差分别为，则、、仍为等差数列， （是非零常数），其公差分别为 （7）若{an}是等差数列，其项数为偶数2n，则S偶－S奇＝nd，＝ （8）若{an}是等差数列，其项数为奇数2n＋1，则S偶－S奇＝，＝ （9）等差数列的函数特性，若{an}是等差数列， ①若已知数列的an和的表达式，则可通过an和对应的函数图象判断的最值 ②若数列的an和的表达式未知，则可通过以下方法判断的最值： ❶当时，{an}为递减数列，先增后减，有最大值， 若，则最大 若，则使成立的最小正整数的值为，使成立的最大正整数的值为 ❷当时，{an}为递增数列，先减后增，有最小值， 若，则最小 若，则使成立的最小正整数的值为，使成立的最大正整数的值为 （10）若{an}是等差数列，数列的前项和分别为， 当时，则 当时，则 5、等比数列 ①等比数列的通项公式； ②等比数列前n项的和公式为 ,，. 6、等比数列的常用性质 （1）若{an}为等比数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq （2）若{an}为等比数列，且2m＝p＋q(m，p，q∈N*)，则＝apaq，称am为ap和aq等比中项，且 （3）若{an}为等比数列，公比为，则ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*) （4）当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，其公比为qk （5）若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列 （6）若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，其公比分别为， 则数列{c}，和也是等比数列（b是非零常数），其公比分别为 （7）若等比数列{an}的项数为偶数2n，则＝ （8）若等比数列{an}的项数为奇数2n＋1，则 7、求的常用方法 （1）找规律法：已知数列的前几项求.（仅限于猜想，猜想的结论需用数学归纳法证明） （2）公式法：已知和、已知和、已知数列的某些项，求an.. （等差等比数列的相关性质） （等差等比数列的相关性质） （3）公式法：已知Sn，或已知an与Sn的关系式，求an..（） （4）累加法：已知递推公式，求an.（） 例：，可推出 （5）累乘法：已知递推公式，求an.（） 例：已知，，可推出 （6）构造法： ①已知递推公式，求an.（构造新等比，） 例：已知，an＋1＝2an＋3，可推出 ②已知递推公式，求an. ❶（构造新等比，） 例：已知，an＋1＝2an＋3×5n，可推出 ❷（构造新等差，，当时优先选用此方法） 例：已知，an＋1＝2an＋2n可推出 ③已知递推公式，求an.（构造新等比，） 例：已知，，可推出 ④已知递推公式，求an.（构造新等比，，无需证明） 例：已知，，可推出 ⑤已知递推公式，求an.（构造新等差，） 例：已知，an＋1＝，可推出 8、求的常用方法 （1）公式法：已知和、已知和、已知数列的某些项，求.. （等差，等比） （2）倒序相加法（通项公式为等差，求Sn） 例：已知函数，若公比为等比数列满足，， 可推出1010 （3）错位相减法（通项公式为等差×等比，求Sn） 已知数列为等差，数列为等比，数列的前项和为Sn，求Sn. 例：已知，，数列的前项和为Sn，可推出 （4）分组求和法（通项公式为等差+等比，求Sn） 已知数列为等差，数列为等比，数列的前项和为Sn，求Sn. 例：已知，，数列的前项和为Sn，可推出 （5）并向求和法（通项公式形如，求Sn） 例：已知，可推出 （6）裂项相消法（通项公式形如，求Sn） ①等差型裂项，， ， ②根式型裂项，， ③指对数型裂项， 例：已知，可推出 十三、导数 1、平均变化率、瞬时变化率、导数的概念及其几何意义 一般地，对函数，当自