高中数学公式及知识点速记（三）解析几何-2025届高三数学一轮复习

高中数学公式及知识点速记（三） 八、解析几何 1、直线的倾斜角与斜率 设直线过点，，倾斜角为，斜率为， （1）则； （2）①时，α越大，直线越陡，k为非负值且越大 ②时，α越大，直线越缓，k为负值且越大 ③越大，直线越靠近轴，直线越陡，越小，直线越靠近轴，直线越缓 2、直线的五种方程 （1）点斜式(直线过点，且斜率为)： 缺陷：不能表示竖线（不存在） （2）斜截式(为直线在y轴上的截距)： 缺陷：不能表示竖线（不存在） （3）两点式(直线过点、：(,) 缺陷：不能表示竖线（不存在）、横线（） （4）截距式(直线在横、纵坐标轴上的截距分别为，)： 缺陷：不能表示竖线（不存在，不存在）、横线（，不存在） 不能表示过原点的直线（） （5）一般式：(其中A、B不同时为0) 没有缺陷：可以表示竖线（，不存在，不存在） 可以表示横线（） 可以表示过原点的直线（） （6）点法式（直线过点，法向量为： 3、直线的方向向量 ①已知点斜式、斜截式： 若直线的斜率为（斜线或横线），则直线的方向向量 若直线的斜率不存在（竖线），则直线的方向向量 ②已知一般式：则直线的方向向量 4、两条直线的平行和垂直 （1）若， ①； ② （2）若， ①或 ② （3）平行和垂直直线的设法 若，，则可设， 5、平面两点间的距离公式 (A，B) 6、点到直线的距离 (点,直线：) 7、两平行线间的距离 （直线） 8、对称问题 （1）点关于点的对称点 设对称点为，则，即，得到对称点 （2）点关于直线的对称点 ①对称直线，设对称点为，则，得到对称点 ②对称直线，设对称点为，则，得到对称点 ③对称直线，设对称点为 则，可解出，得到对称点 （3）直线关于点对称的直线 设对称直线为，则，可解出得到对称直线方程 （4）直线关于直线对称的直线 ①若，设对称直线为，则 ②设直线的对称直线为，在直线上任取一点 设其对称点为，则，可解出，得到对称点 设直线和的交点为，联立。可解出，得到交点 利用两点式得到对称直线方程 9、圆的方程 （1）圆的标准方程：，圆心为，半径为 （2）圆的一般方程：(＞0) ，圆心为，半径为 ①时，方程表示圆 ②时，方程表示点 ③时，方程无几何意义 10、点与圆的位置关系： 点与圆的位置关系有三种， 若， 则点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内 11、直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种: 若，联立，消去得到方程的， ①; ②;（求切线长，求切线方程） ③.（求弦长，求弦长方程）（弦心距公式 ） 12、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种: 若， ①;（有4条公切线）（求公切线方程） ②;（有3条公切线）（求公切线方程） ③;（有2条公切线） （求公共弦方程，求公共弦长）（弦心距公式 ） ④;（有1条公切线）（求公切线方程） ⑤.（没有条公切线） 13、直线系、圆系方程 ①过直线与交点的直线系方程为： ②过直线与圆交点的圆系方程为： (不同时为0) ③过圆与圆交点的圆系方程为： 14、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程 （1）椭圆的标准方程： 已知为动点，为定点，， ①若，即，则动点的轨迹为椭圆，动点的轨迹方程为： 焦点在轴上：，焦点在轴上： 且，离心率<1. ②若，即，则动点的轨迹为线段，动点的轨迹方程为： 定点在轴上：，定点在轴上： ③若，即，则动点没有轨迹，动点的没有轨迹方程 （2）双曲线的标准方程： 已知为动点，为定点，， ①若，即，则动点的轨迹为双曲线，动点的轨迹方程为： 焦点在轴上：，渐近线方程是, 焦点在轴上：，渐近线方程是 且，离心率. 且若，则动点的轨迹为双曲线的一支（如：左支、上支） ②若，即，则动点的轨迹为两条射线，动点的轨迹方程为： 定点在轴上：，定点在轴上： ③若，即，则动点没有轨迹，动点的没有轨迹方程 ④若，即，则动点的轨迹为线段的垂直平分线，动点的轨迹方程为： 定点在轴上：，定点在轴上： （3）抛物线的标准方程： ①焦点在轴上：，焦点在轴上： ②焦点,准线。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离 15、椭圆、双曲线、抛物线的离心率 离心率 ①椭圆，越大椭圆越扁，越小椭圆越圆 ②抛物线，越大双曲线开口越大，越小双曲线开口越小 ③双曲线， ④圆没有离心率（相当于） 16、椭圆、双曲线、抛物线的焦半径 ①椭圆的焦半径 设为椭圆上一点，为椭圆的左右焦点， 则为椭圆的焦半径，且 ②双曲线的焦半径 设为双曲线上一点，为椭圆的左右焦点， 则为双曲线的焦半径，且 ③抛物线的焦半径 设抛物线方程为，为抛物线上一点，为抛物线的焦点， 则为抛物线的焦半径，且， 即抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离 17、圆、椭圆、双曲线、抛物线的弦长公