高中数学公式及知识点大全（二）复数、立体几何、空间向量-2025届高三数学一轮复习

高中数学公式及知识点速记(二) 五、复数 1、复数的有关概念 ①复数的定义 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b. ②复数的分类 复数 ③复数相等、共轭复数 复数相等: 共轭复数: ④复数的模 向量的模叫做复数的模,记作或,即 2.复数的几何意义 ①复数复平面内的点. ②复数 平面向量 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设,则 ①加法: ②减法: ③乘法: ④除法: (2)复数加法的运算定律、结合律 对任何,有, 六、立体几何 1、基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 有且只有一个平面 ,使A∈ ,B∈ ,C∈ 基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈ ,且P∈ ∩ =l,且P∈l 推论1:一条直线和直线外一点确定一平面 推论2:两条平行线确定一个平面 推论3:两条相交线确定一个平面 基本事实4 平行于同一直线的两条直线平行 基本事实5(等角定理) 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. , 或 2、空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系 共面直线:相交、平行 异面直线:不同在任何一个平面内 (2)异面直线所成的角 定义:设是两条异面直线,经过空间任一点O作直线,把与所成的锐角(或 直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角) 3、直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(线线平行 线面平行) l∥a,a⊂ ,l⊄ l∥ 性质定理 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行 线线平行) l∥ ,l⊂ , ∩ =b l∥b 4、平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(线面平行 面面平行) a∥ ,b∥ ,a∩b=P, a⊂ ,b⊂ ∥ 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 ∥ , ∩ =a, ∩ =b a∥b 定义 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线,平行于另外一个平面 ∥ ,a⊂ , a∥ 5、直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 定义 若一条直线和平面垂直,则该直线垂直平面内的任何一条直线 6、平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义:两个平面相交, 如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直 (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理: 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 7、证明线线平行的思路 证明线线垂直的思路 (1)中位线定理(等分点定理) (1)勾股定理 (2)平行四边形定理 (2)线面垂直的定义(线面垂直,线线垂直) (3)线面平行的性质定理(线面平行,线线平行 (3)三垂线定理(垂直投影等价于垂直斜线) (4)面面平行的性质定理(面面平行,线线平行) (4)其他平面几何性质(菱形对角线、正 底高垂直……) (5) (6)线面垂直的性质定理() (7)其他平面几何性质(同位角、内错角相等……) 8、证明线面平行的思路 证明线面垂直的思路 (1)线面平行的判定定理(线线平行,线面平行) (1)线面垂直的判定定理(线线垂直,线面垂直) (2)面面平行的定义(面面平行,线面平行) (2)面面垂直的性质定理(面面垂直,线面垂直) (3) 9、证明面面平行的思路 证明面面垂直的思路 (1)面面平行的判定定理(线面平行,面面平行) (1)面面垂直的判定定理(线面垂直,面面垂直) (2) (2)面面垂直的定义(二面角为直二面角) (3) 10、 11、 12.柱、锥、台和球的侧面积和体积 几何体 面积 体积 几何体 面积 体积 圆柱 S侧=2 rh V=Sh= r2h 直棱柱 S侧=Ch V=Sh 圆锥 S侧= rl V=Sh= r2h= r2 正棱锥 S侧=Ch′ V=Sh 圆台 S侧 = (r1+r2)l V=(S上+S下+)h = (r+r+r1r2)h 正棱台 S侧=(C+C′)h′ V=(S上+S下+)h 球 S球面=4 R2 V= R3 13.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和