导数专题 导数与曲线的切线方程问题讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数专题 导数与曲线的切线方程问题 明确学习目标 课标要求 掌握两种切线方程的求解，并能解决有关切线方程的综合问题 重点难点 掌握两种切线方程的求解，并能解决有关切线方程的综合问题 知晓结构体系 1夯实必备知识 一、求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求“在型”切线方程的步骤 ①求斜率：求出曲线在点处切线的斜率 ②列式：用点斜式 ③计算：将点斜式变成一般式。 2、求“过型”切线方程的步骤 ①设元：设切点为； ②求斜率：k=； ③列式：用点斜式； ④代点计算：代入已知点坐标． 二、切线条数问题 求曲线的切线条数一般是设出切点，由已知条件整理出关于的方程，把切线问条数问题转化为关于的方程的实根个数问题。 三、公切线问题 研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面： （1）两个曲线有公切线，且切点是同一点； （2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。 四、已知切线求参数问题 此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围。常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的根的情况或函数性质去求解。 2提升学科能力 题点一 “在型”切线方程的求解 【典例分析1】 已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线； (2)讨论的单调性； 【变式训练1】 1．函数的图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则曲线在处切线的方程为 ． 3．曲线在处的切线方程为 . 4．曲线在点处的切线方程为 ． 5．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间． 题点二 “过型”切线方程的求解 【典例分析2】 已知曲线，(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【变式训练2】 1．过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 3．过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 4．已知曲线.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程. 题点三 切线方程的平行和垂直问题 【典例分析3】 （1）求过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程． （2）设曲线上任意一点处的切线为，若总存在曲线上某点处的切线，使得，求实数的取值范围． 【变式训练3】 1．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．－4 B．－3 C．4 D．3 2．设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B． C． D． 3．已知曲线与曲线在处的切线互相垂直，则 ． 4．若曲线的一条切线与直线：互相垂直，则该切线的方程为 . 题点四 切线的条数问题 【典例分析4】 （多选）已知函数（为自然对数的底数），过点作曲线的切线.下列说法正确的是（    ） A．当时，若只能作两条切线，则 B．当，时，则可作三条切线 C．当时，可作三条切线，则 D．当，时，有且只有一条切线 【变式训练4】 1．过点有三条直线和曲线相切，则实数的可能取值是（    ） A．0 B．3 C．5 D．6 2．已知函数，若过点恰能作2条曲线的切线，则的值可以为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 3．（多选）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知函数，若过点恰能作3条曲线的切线，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 题点五 公切线问题 【典例分析5】 如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线和曲线有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5】 1．曲线与曲线的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．11 B．12 C． D． 3．若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．若存在过点的直线与曲线和都相切，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．若函数与图象在交点处有公切线，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 6.【点睛】本小题主要考查导数与切线，考查方程的思想，属于基础题.2．若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数 . 题点六 与切线相关的最值问题 【典例分析6】 若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的