导数专题 导数与不等式问题讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数专题 导数与不等式问题 明确学习目标 课标要求 熟悉常见函数不等式问题类型,掌握函数与不等式的思维方法,提高思维能力。 重点难点 函数不等式思维突破口,函数转化方法。 知晓结构体系 1夯实必备知识 一、不等式证明的常用思路:核心要点是“构造新函数”,利用单调性求最值 1、作差法:要证明不等式(或),只需证明(或),然后构造函数求最值 2、最值法:若无法转化为一个函数的最值问题,则可以考虑转化为两个函数的最值问题. 在证明过程中,等价转化是关键,此处恒成立. 注意:与取到最值的条件不是同一个“x的值”. 3、 放缩法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论; 常见放缩公式 ex≥1+x ln x≤x-1 与ex有关的常用不等式 (1)ex≥1+x(x∈R). (2)ex≥ex(x∈R). (3)ln x≥(x≥1,当且仅当x=1时,等号成立). (4)ln x≥(0<x≤1,当且仅当x=1时,等号成立). (5)ln x≤(x≥1,当且仅当x=1时,等号成立). 与ln x有关的常用不等式 (1)≤ln x≤x-1(x>0,当且仅当x=1时,等号成立). (2)ln x≤(x>0,当且仅当x=e时,等号成立). (3)ln x≤(0<x≤1,当且仅当x=1时,等号成立). (4)ex>x+1>x>x-1>ln x,常用该不等式通过放缩证明一些问题. 4、双变量不等式的处理策略: 含两个变量的不等式,基本的思路是将之转化为一元的不等式, 具体转化方法主要有三种:整体代换,分离变量,选取主元. 二、不等式成立问题常用的转化规则:核心要点是转化为函数最值问题 1、单变量不等式成立问题:一般利用参变分离法求解函数不等式恒(能)成立 (1), (2), (3), (4), 2、双变量不等式成立问题:一般地,已知函数, (1)若,,总有成立,故; (2)若,,有成立,故; (3)若,,有成立,故; (4)若,,有,则的值域是值域的子集. 三、利用导数证明不等式的常用方法 1、作差法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数; 2、放缩法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论; 3、构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数. 2提升学科能力 题点一 不等式恒成立问题 【典例分析1】 设函数. (1)求的极值; (2)若对任意,有恒成立,求的最大值. 【变式训练1】 1.已知函数,若时,恒有,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.设函数.若对于任意,都有,则实数的值为 . 3.已知,若关于x的不等式对一切正实数x恒成立,则当取最小值时,实数的值为 . 4.已知函数. (1)若,求曲线在处的切线方程; (2)若,求实数的取值范围. 题点二 不等式能成立(存在性)问题 【典例分析2】 设函数 (1)讨论的单调性; (2)若为正数,且存在,使得求的取值范围. 【变式训练2】 1.已知函数,不等式在上有解,则实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 2.已知函数,若存在,使得,则实数的取值范围 . 3.已知函数,若存在,使得成立,则实数的取值范围 . 4.已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)若,,求实数a的取值范围. 题点三 单变量的不等式证明 【典例分析3】 已知函数.(1)求函数的极值;(2)求证:. 【变式训练3】 1.已知函数. (1)求的最小值; (2)设,证明: 2.已知函数. (1)当时,求函数的最小值; (2)当时,证明:不等式在上恒成立. 3.已知函数.(1)求函数的极值;(2)求证:. 题点四 双变量的不等式证明 【典例分析4】 已知函数(a为常数). (1)求函数的单调区间; (2)若存在两个不相等的正数,满足,求证:. (3)若有两个零点,,证明:. 【变式训练3】 1.已知函数. (1)当时,求曲线在处的切线方程; (2)设,证明:对任意,,. 2.已知,函数,其中为自然对数的底数. (1)判断函数的单调性; (2)若是函数的两个极值点,证明:. 3.已知函数,R. (1)若存在单调递增区间,求的取值范围; (2)若,为的两个不同极值点,证明:. 4.已知函数,,设. (1)若,求的最大值; (2)若有两个不同的零点,,求证:. 题点五 双变量求参数范围 【典例分析5】 已知函数f(x)=. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)设t1,t2为两个不等的正数,且t2lnt1﹣t1lnt2=t1﹣t2,若不等lnt1+ lnt2>0恒成立,求实数 的取值范围. 【变式训练5】 1.已知函数,,若,t>0,则的最大值为( ) A. B. C. D. 2.已知函数,,. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值; (2)若方