24.2.2.3 切线长定理和三角形的内接圆 课件-2023-2024学年人教版数学九年级上册

24.2.2.3　切线长定理和三角形的内接圆 人教版 九年级 人教版初中数学九年级上册第二十四章圆 1.掌握切线长的定义及切线长定理. 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质. 学习目标 人教版 九年级 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B 新课导入 人教版 九年级 1.猜想：图中的线段PA与PB有什么关系？ 2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？ O. P A B 人教版 九年级 提出问题 如图，过圆外一点P有两条直线PA,PB分别与⊙O相切.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 注 意： 切线是直线，不可度量； 切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线段的长，可以度量. P O A B 人教版 九年级 概念梳理 如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与 ∠BPO有什么关系？你能证明吗？ P O A B 人教版 九年级 互动探究 P O A B 证明：如图，连接OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB,OP=OP. ∴Rt△AOP ≌ Rt△BOP. ∴PA=PB,∠APO=∠BPO. 人教版 九年级 推理论证 。 P A B O 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB 几何语言： 切线长定理 人教版 九年级 8 若连接两切点 A，B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出什么新的结论? 请给出证明. 解：OP 垂直平分 AB. 证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线， 点 A，B 是切点， ∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB. ∴ △PAB 是等腰三角形， PM 为顶角的平分线. ∴ OP 垂直平分 AB. M O P A B 人教版 九年级 深入探究 如图是切线长定理的一个基本图形, 可以直接得到结论： (1)PO ⊥ AB； (2)AO ⊥ AP，BO ⊥ BP； (3)AP=BP； (4)∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4； (5)AD=BD. 人教版 九年级 深入探究 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ O 问题1 如果最大圆存在，它与三角形 三边应有怎样的位置关系？ 最大的圆与三角形三边都相切 互动探究 人教版 九年级 问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？ (2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？ 圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r. 圆心I应是三角形的三条角平分线的交点. B A C I 互动探究 人教版 九年级 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. M N D 作法： 1.作∠ABC 和∠ACB的平分线BM 和CN，交点为. 2.过点O作OD⊥BC，垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ☉O就是所求的圆. O 人教版 九年级 做一做 1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. 要点解读 1.一个三角形有一个内切圆，而一个圆有无数多个外切三角形. 2.三角形的内心在三角形的内部. 人教版 九年级 归纳总结 三角形内心的性质 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点. 三角形的内心到三角形三边的距离相等. 人教版 九年级 归纳总结 例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 与 ⊙O 分别相切于点 E，F，G，H. 求证：AB + CD = AD + BC. 证明：∵ AB，BC，CD，DA 与 ⊙O 分别 相切于点 E，F，G，H， · A B C D O E F G H ∴ AE = AH，BE = BF，CG = CF，DG = DH. ∴ AE + BE + CG + DG = AH + BF + CF + DH， ∴ AB + CD = AD + BC. 人教版 九年级 典例解析 例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与