第一章三角形的证明1等腰三角形素养集训1等腰三角形中作辅助线的常见方法 练习课件-2023-2024学年北师大版数学八年级下册

第一章　三角形的证明 1　等腰三角形 素养集训 1.等腰三角形中作辅助线的常见方法 北师版　八年级下册 ⁠ 利用“三线合一”作辅助线 1.【2023·聊城】如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （1）求证：∠EAD＝∠EDA； （1）证明：∵∠B＝∠AED， ∴180°－∠B＝180°－∠AED，即∠BEA＋∠BAE＝∠BEA＋∠CED，∴∠BAE＝∠CED. 在△BAE和△CED中， ∴△BAE≌△CED（AAS）， ∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）若∠C＝60°，DE＝4，求△AED的面积. 1.【2023·聊城】如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C. （2）解：过点E作EF⊥AD于点F， 由（1）知EA＝ED，∴AF＝FD，∠AEF＝∠DEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵∠AED＝∠C＝60°， ∴∠AEF＝∠DEF＝30°. ∵DE＝4，∴DF＝DE＝2. ∴AD＝2DF＝4，EF＝＝＝2， ∴S△AED＝AD·EF＝×4×2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作腰的平行线构造等腰三角形 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF.求证：DE＝DF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明：如图，过点E作EG∥AC，且EG交BC于点G，则∠F＝∠DEG，∠ACB＝∠EGB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B.∴∠B＝∠EGB.∴BE＝EG. ∵BE＝CF，∴EG＝CF. 在△EGD和△FCD中， ∴△EGD≌△FCD（AAS）.∴DE＝DF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ⁠ ⁠作底边的平行线证线段相等 3.如图，在等边三角形ABC中，D在AC上，延长BC至E，使CE＝AD，DG⊥BC于G.求证：DB＝DE. 证明：如图，过点D作DF∥BC，DF交AB边于点F. ∵△ABC是等边三角形，DF∥BC，∴AB＝AC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°. ∴△ADF是等边三角形.∴AD＝DF＝AF. ∴CD＝BF.∵AD＝CE，∴FD＝CE. 又∵∠DFB＝∠DCE＝180°－60°＝120°， ∴△BFD≌△DCE（SAS）.∴DB＝DE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数. ⁠ 绕顶点旋转三角形求角的度数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：如图，将△BCP绕B逆时针旋转60°，得到△BAP'.连接PP'，则∠PBP'＝60°，BP＝BP'，AP'＝PC＝10. ∴△PBP'是等边三角形， ∴∠BPP'＝60°，PP'＝BP＝8， ∵PP'＝8，AP'＝10，PA＝6，∴PP'2＋PA2＝AP'2， ∴∠APP'＝90°，∴∠APB＝60°＋90°＝150°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ⁠ ⁠ 倍长中线法证与中线有关的线段的倍分关系 5.如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB， 则CF＝2CE.∵CE是△ABC的中线， ∴AE＝BE. 在△BEF和△AEC中 ∴△BEF≌△AEC（SAS）. ∴∠EBF＝∠A，BF＝AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF. ∵CB是△ADC的中线，∴AB＝BD. 又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD.在△CBF和△CBD中，∴△CBF≌△CBD（SAS）.∴CF＝CD.∴CD＝2CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ⁠ 截长补短法证线段的倍分或和差关系 6.如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，M为BC的中点.求证：DM＝AB. 证明：如图，延长CB到点E，使BE＝BA，连接AE， 则∠E＝∠BAE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵∠E＋∠BAE＝∠ABC， ∴∠ABC＝2∠E.∵∠ABC＝2∠C， ∴∠E＝∠C.∴AE＝AC.∵AD⊥BC， ∴CD＝DE.∵点M为BC的中点，∴BM＝