第一章三角形的证明4角平分线素养集训应用角平分线的辅助线作法 练习课件-2023-2024学年北师大版数学八年级下册

第一章　三角形的证明 4　角平分线 素养集训　应用角平分线的辅助线作法 北师版　八年级下册 ⁠ 作一边的垂线段法构造对称图形 1.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.求证： 1 2 3 4 5 6 7 8 （1）AM⊥DM. 证明：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAD＋∠ADC＝180°. ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴∠BAM＝∠MAD，∠CDM＝∠ADM. ∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°. ∴∠MAD＋∠ADM＝90°. ∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）M为BC的中点. 证明：（2）如图，过点M作MN⊥AD于点N. 1.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.求证： 1 2 3 4 5 6 7 8 ∵∠B＝90°，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD. 又∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM＝MN，MN＝CM. ∴BM＝CM，即M为BC的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 ⁠ 作两边的垂线段法构造对称图形 2.如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.求证：∠C＋∠BAD＝180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F. ∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF.在Rt△EAD和Rt△FCD中，∴Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）.∴∠EAD＝∠C.∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∴∠C＋∠BAD＝180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 ⁠ 补形法构造对称图形 3.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠1＝∠3，BE⊥AD交AD的延长线于点E.求证：BE＝AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 证明：如图，延长AC，BE交于点F， ∵BE⊥AE，∴∠AEF＝∠AEB＝90°. 在△AEF和△AEB中， ∴△AEF≌△AEB（ASA）， ∴FE＝BE，∴BE＝BF. 1 2 3 4 5 6 7 8 ∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，∴∠1＝∠2. 在△ACD和△BCF中， ∴△ACD≌△BCF（ASA）， ∴AD＝BF，∴BE＝AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 ⁠ 延长、截取法构造全等图形 4.在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F. （1）求证：∠BFC＝90°＋∠A. 1 2 3 4 5 6 7 8 （1）证明：∵BE，CD分别是∠ABC与∠ACB的平分线，∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB.∴∠FBC＋∠FCB＝（∠ABC＋∠ACB）＝（180°－∠A）＝90°－∠A，∴∠BFC＝180°－（∠FBC＋∠FCB）＝180°－，∴∠BFC＝90°＋∠A. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）已知∠A＝60°. ①如图①，若BD＝4，BC＝6.5，求CE的长； 4.在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）解：①如图，在BC上取一点G，使BG＝BD，连接FG. 由（1）得∠BFC＝90°＋∠A， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BFC＝90°＋×60°＝120°， ∴∠BFD＝∠EFC＝180°－∠BFC＝60°. ∵BE，CD为△ABC的角平分线， ∴∠FBG＝∠FBD，∠ECF＝∠GCF. 1 2 3 4 5 6 7 8 在△BFG和△BFD中， ∴△BFG≌△BFD（SAS）. ∴∠BFD＝∠BFG＝60°， ∴∠CFG＝120°－∠BFG＝60°， ∴∠CFG＝∠CFE＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 在△FEC和△FGC中， ∴△FEC≌△FGC（ASA），∴CE＝CG， ∵BC＝BG＋CG，∴BC＝BD＋CE. ∵BD＝4，BC＝6.5， ∴CE＝2.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）已知∠A＝60°. ②如图②，若BF＝AC，求∠AEB的度数. 4.在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F. 1 2 3 4 5 6 7 8 ②如图，延长BA到P，使AP＝FC，连接PC. ∵∠BAC＝60°， ∴∠PAC＝180°－∠BAC＝120°. 由①可知∠BFC＝120°. ∴∠BFC＝∠PAC＝120°. 在△BFC和△CAP中， ∴△BFC≌△CAP（SAS）. 1 2 3 4 5 6 7 8 ∴∠P＝∠BCF，