2024年九年级中考数学复习 正方形模型-十字模型专题

十字模型 基础模型 类型 过顶点型 不过顶点型 已知 在正方形ABCD中，点E、F分别在CD，AD上，AE⊥BF 在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB，CD，BC，AD上，EF⊥GH 图示 结论 △ABF≌△DAF，BF=AE EF=GH 模型应用 1. 如图，正方形ABCD中，点E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于点G，交CD于点F，若DF=2,BG=4，则AE的长为 。 2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，且AE=DF，连接 BE，AF交于点M，连接BF，N是BF的中点，连接MN，若AB=10，AE=4，则MN的长为 。 1题图 2题图 3题图 4题图 3. 如图，已知正方形ABCD，E是边BC上一点，过点B作AE的垂线，垂足为F，G是BF延长线上一点，且∠BGC=45°，连接GC并延长，交AE的延长线于点H，连接BH,DG，若CG=CH,DG=,则BH的长为 。 4. 如图，正方形ABCD的边长为8，E是CD中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG的长为 。 5. （1）如图（1）在正方形ABCD中,AE,DF相交于点O,且AE⊥DF,则AE和DF的数量关系为 。 （2）如图（2），在正方形ABCD中，E,F,G分别是边AD,BC,CD上的点,BG⊥EF,垂足为 H.求证:EF=BG. 6. 已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有①AF=DE，②AF⊥DE成立. 试探究下列问题. （1）如图（1），若E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明） （2）如图（2），若点E，F分别在CB，DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. （3）如图（3），在（2）的基础上，连接AE和EF.若M,N，P,Q分别为AE，EF，FD，AD边的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论. 7. 已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G、过点B作BM⊥CE，垂足为点M.BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H. （1）如图①、求证：CE=BH； （2）如图②.若AE=AB，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中的四个三角形(△AEG除外），使写出的每个三角形都与△AEG全等. 8. 如图，已知正方形ABCD，点P在对角线BD上，PE⊥PA交BC于点E，PF⊥BC，垂足为F。 （1）求证：∠PEC=∠BAP； （2）求证：EF=FC； （3）求证：DP=CF 9. 已知，在矩形ABCD中，E为BC边的中点，DG⊥AE交AE于点F，交AB于G，AB:BC=k。 （1）如图①，当k=1时，求证：AG=BE； （2）如图②，若，AF=4。 ①求EF的长； ②连接FC，若∠EFC=∠BAE，求FC的长。 模型拓展 类型 过顶点型 不过顶点型 已知 在矩形ABCD中，点E在AD上，CE⊥BD 在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别在AD，BC，AB，DC上，EF⊥GH 图示 结论 △BCD∽△CDE， 拓展应用 1. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D为AC的中点，连接BD，过点C作CE⊥BD交AB于点E，交BD于点F，则CE的长为 。 1题图 2题图 3题图 2. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，过点A作BD的垂线分别交BC，BD于点E，F，则EF的长为 。 3. 如图，在四边形ABCD中，BC=CD=5, ∠B= ∠ADC=90°,AB=10,点E，F分别在边BC,AB上，AE⊥DF于点G,则的值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $$