专题03 解三角形（考点串讲）-2023-2024学年高一数学下学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

苏教版（2019)选择性必修第二册期中考点大串讲 串讲02 三角恒等变换 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 01考点透视 02 典例剖析 要点一　三角函数式求值 三角函数式求值主要有三种类型，即 (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式. (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.要注意角的范围. (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围. C 要点二　三角函数式的化简与证明 ＝cos 2Acos 2B＝右边，所以原等式成立. 要点三　三角恒等变换的应用 利用三角公式和基本的三角恒等变换的思想方法，可以化简三角函数的解析式，进而才能顺利地探求三角函数的有关性质.反过来，利用三角函数性质，可确定解析式，进而可求出有关三角函数值.因而三角恒等变换与三角函数的综合问题是高考命题的热点. 解决三角恒等变换与三角函数的综合问题关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数.解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化、角的代换)的运用，还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用. (1)求函数f(x)的最小正周期及最值； 解　g(x)是偶函数，理由如下： ∴函数g(x)是偶函数. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域； 要点四　三角函数图象与性质的综合应用 又f(x)图象的最高点的纵坐标为2， ∴3＋a＝2，即a＝－1. 又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π， ∴f(x)的最小正周期T＝π， (2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间. 三角函数式求值的三种常见类型 (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式． (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围． (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．　 三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路： (1)观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系． (2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来． (3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．　 解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化、角的代换)的运用；还要注意一般的数学思想方法 (如换元法等)的运用．　 03 考场练兵 √ √ √ √ 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)， 又0<α＋β<π，故α＋β＝eq \f(π,4). 【例1】　(1)已知锐角α，β满足sin α＝eq \f(\r(5),5)，cos β＝eq \f(3\r(10),10)，则α＋β等于(　　) A.eq \f(3π,4) B.π或eq \f(3π,4) C.eq \f(π,4) D.2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z) 解析　由sin α＝eq \f(\r(5),5)，cos β＝eq \f(3\r(10),10)且α，β为锐角， 可知cos α＝eq \f(2\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)， (2)已知α，β为锐角， cos α＝eq \f(4,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3)，求cos β的值. 解　∵α是锐角，cos α＝eq \f(4,5)，∴sin α＝eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(3,4). ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝eq \f(tan α－tan（α－β）,1＋tan αtan（α－β）)＝eq \f(13,9). ∵