专题09 几何最值问题-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题09 几何最值问题 目录 热点题型归纳 题型01 将军饮马模型 1 题型02 费马点模型 6 题型03 阿氏圆模型 15 题型04 隐圆模型 20 题型05 瓜豆圆模型 28 中考练场 33 题型01 将军饮马模型 【解题策略】 两定一动模型 一定两动模型 （同侧） （异侧） 两线段相减的最大值模型（三点共线） 【典例分析】 例．（2022·黑龙江·中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是 ． 【变式演练】 1．（2022·山东枣庄·二模）如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ． 2．（2023广东广州·模拟预测）如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为 ． 题型02 费马点模型 【解题策略】 将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。 即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE。 【典例分析】 例．（2023全国·中考模拟预测）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求： ①， ②， ③， ④的最小值． 【变式演练】 1．（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD= ． 2．（2023广东·一模）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值 3．（2024湖北中考·二模）如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值． 题型03 阿氏圆模型 【解题策略】 问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB ②计算出这两条线段的长度比 ③在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则， ④则，当A、P、C三点共线时可得最小值。 【典例分析】 例．（2023·广西·中考真题）如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点的横坐标为，当时，求的值； （3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值． 【变式演练】 1．（2023·甘肃天水·一模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为 ． 2．（2023江苏·二模）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ． 题型04 隐圆模型 【解题策略】 定点定长 定弦定角 四点共圆 最短距离：“一箭穿心”，然后点到圆心的距离-半径； 最长距离：“一箭穿心”，然后点到圆心的距离+半径。 【典例分析】 例．（2023·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，，，点M为的中点，E是上的一点，连接，作点B关于直线的对称点，连接并延长交于点F．当最大时，点到的距离是 ．    【变式演练】 1．（2024浙江金华·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·山东泰安·三模）如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ． 3．（2022·广东河源·二模）如图，已知，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为 ． 题型05 瓜豆圆模型 【解题策略】 条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． 结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比． 【典例分析】 例．（2023·江苏·中考真题）在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是 ．    【变式演练】 1．