专题1-6二倍角公式与三角变换的应用（考点清单，3种题型典例剖析+考点练兵）-2023-2024学年高一数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020必修二）

专题1-6二倍角公式与三角变换的应用（考点清单，3种题型典例剖析+考点练兵） 一．二倍角的三角 二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2． 二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α． 二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可． 【命题方向】 本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式． 二．三角恒等式的证明 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α+cos2α＝1． （2）商数关系：＝tanα． 2．诱导公式 公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，其中k∈Z． 公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α． 公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα． 公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα． 公式五：sin（2π﹣α）＝﹣sinα，cos（2π﹣α）＝cosα． 公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）═﹣sinα 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ； （2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ； （3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； （4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ； （5）T（α+β）：tan（α+β）＝． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα； （2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α； （3）T2α：tan 2α＝． 三．三角恒等变换及化简求值 三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性． 公式 ①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx ②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx ③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx， ④余切函数有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx． 【命题方向】 本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的． 一．二倍角的三角函数（共11小题） 1．（2023春•虹口区校级期中）设，则“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 2．（2023春•松江区校级期中）若，且，则可以为　　 A． B． C． D． 3．（2024•宝山区校级开学）若，则　　． 4．（2023春•金山区校级月考）已知，则　　． 5．（2024春•宝山区校级月考）若，则　　． 6．（2023秋•越秀区期末）若，则　　． 7．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，若，则　　． 8．（2023秋•黄浦区校级期末）已知，且有，则　　． 9．（2023春•浦东新区期末）已知，且，则的值是 　　． 10．（2023春•松江区校级期中）若，则　　． 11．（2023春•闵行区期末）在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称．若，则　　． 二．三角函数恒等式的证明（共5小题） 12．（2023春•浦东新区校级月考）证明：． 13．（2023春•青浦区校级月考）（1）化简：． （2）证明恒等式：． 14．（2021春•徐汇区校级月考）（1）已知，化简：； （2）已知，证明：． 15．（2021春•松江区期末）（1）已知角终边上有一点的坐标是，其中，求的值； （2）证明恒等式：． 16．（2021春•杨浦区校级期中）在非直角三角形中，角，，的对边分别为，，， （1）若，求角的最大值； （2）若， 证明：； （可能运用的公式有 是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由． 三