专题2-3双曲线（考点清单，3种题型典例剖析+考场练兵）-2023-2024学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选修）

专题2-3双曲线（考点清单，3种题型典例剖析+考场练兵） 一．双曲线的定义 双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率． 标准方程 ①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线； ②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线． 性质 这里的性质以（a，b＞0）为例讲解： ①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e＝＞1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|． 【命题方向】 这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的，对于还剩下的部分，尽量多写． 二．双曲线的标准方程 双曲线标准方程的两种形式： （1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞0，b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 （a，0）和（﹣a，0） （0，a）和（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 离心率 e＝（e＞1） e＝（e＞1） 渐近线 即y＝±x 即y＝±x 准线 x＝± y＝± 三．双曲线的性质 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称 关于x轴，y轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e＝（e＞1） 准线 x＝± y＝± 渐近线 ±＝0 ±＝0 一．双曲线的定义（共3小题） 1．（2022春•台江区校级期末）焦点在轴上，且渐近线方程为的双曲线的方程可以是　　 A． B． C． D． 2．（2023春•井冈山市校级期末）已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为　　 A． B． C． D． 3．（2022春•长宁区校级期末）若将方程化简为的形式，则　　． 二．双曲线的标准方程（共5小题） 4．（2023春•黄浦区校级期中）从某个角度观察篮球（如图，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，视所在直线为轴，则双曲线的标准方程方程为 　　． 5．（2023春•普陀区校级月考）若双曲线的一条渐近线经过点，且焦点到该渐近线的距离为2，则该双曲线的方程为 　　． 6．（2023春•黄浦区校级期中）双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是 　　． 7．（2022春•宝山区校级期中）若双曲线的一个焦点坐标为，实轴长为6，则它的标准方程是 　　． 8．（2022春•黄浦区校级期末）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是　　． 三．双曲线的性质（共15小题） 9．（2023春•长宁区校级期中）双曲线的一个焦点为，左、右顶点分别为，，为双曲线上任意一点，则分别以线段，为直径的两个圆的位置关系为　　 A．相切 B．相交 C．相离 D．以上情况都有可能 10．（2023春•浦东新区期中）在下列双曲线中，与共渐近线的为　　 A． B． C．