第12章 证明（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第12章 证明（知识归纳+6题型突破） 1.掌握定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念，知道一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题. 2.基本事实是其真实性不加证明的真命题，弄清真命题与定理的区别. 3.会用举反例说明一个命题是假命题；掌握三角形内角和定理的证明. 知识点一．命题与定理 1.判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3.定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4.命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5.命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点二．推理与论证 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式． 知识点三．四种命题及其关系 四种命题及其关系． 1.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 2.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题． 3.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题． 【题型一 判断是否是命题】 例题：下列语句表示命题的是（    ） A．作的平分线 B．直角都相等吗 C．画一条直线 D．内错角不相等 【变式训练】 1．下列语句是命题的有（      ） ①连接；  ②等边对等角； ③同角的余角不相等； ④作线段的垂直平分线； ⑤你来吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列语句中，属于命题的是（    ） A．作的平分线 B．同旁内角互补 C．画线段 D．你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢 【题型二 判断命题真假】 例题：下列命题中，真命题是（     ） A．两个锐角的和等于直角 B．相等的角是对顶角 C．两直线平行，同位角互补 D．经过两点有且只有一条直线 【变式训练】 1．下列命题：①内错角相等，两直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等；⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若，则；④若，则．其中是真命题的是（    ） A．②③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【题型三 写出命题的逆命题】 例题：命题“若，则”的逆命题是 ，这是 命题（选填“真”或“假”）． 【变式训练】 1．写出“对顶角相等”逆命题： ，其逆命题是 （真/假）命题． 2．写出命题“直角三角形只有两个锐角”的逆命题 ． 【题型四 三角形内角和定理的证明】 例题：嘉琪在做作业时，发现人教版第五章有这样一道“拓广探索”试题：如图，直线经过点A，且，，．写出、、的度数；（通过这道题，你能说明为什么三角形三个内角的和是吗？）    (1)写出三个角、、的度数； (2)补充完整嘉琪对于括号里的说明． 说明：， ；______ ______（平角定义） ______（等量代换） 即三角形三个内角的和是______． 【变式训练】 1．在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 2．三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这