5.3.2第1课时函数的极值教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

教学设计 课题名称 5.3.2第1课时　函数的极值 课时计划： 课时 第 课时 授课日期： 教学目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件． 重点难点 掌握函数极值的判定与求法；根据函数极值求参数问题。 教学方法 教师讲授、师生互动、学生主导 科组模式 板书设计 作业布置 课后反思 教 学 过 程 设 计 教学环节 教师活动(可附带学生活动) 【导入新课】 问题1 同学们，上节课我们学习了用导数去求函数的单调性，知道了导函数图像与原函数图象的变化趋势，古诗云“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，我们函数图像也是有各种高低变化，有高峰也有低谷，问题来了，同学们，高峰一定是最高点吗？低谷也一定是最低点吗？ 提示 高峰不一定是最高点，低谷也不一定是最低点。它们是那个局域的高点和低点，也就是所谓的“极值”，这就是我们这节课需要学习的内容 （设计意图：回顾上节课知识内容，同时引导学生们进一步学习函数图像变化特征，引出本节课学习内容，吸引同学们注意力和探究学习兴趣） 【讲授新课】 一、函数极值的概念 问题2　同学们，观察下面图像，如图是某处群山的截面图，请问有谁能指出山峰、山谷呢？ 提示　在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷． 问题3　我们知道了山峰和山谷后，那谁能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？ 提示　我们以山峰x＝x1处为例，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，即f′(x)>0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，即f′(x)<0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0. （设计意图：通过设置问题，让同学们对函数的图像特征有个直观认识，对山峰和山谷有个直观印象和理解。） 知识梳理 极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 例1　如果函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数在区间内单调递增；②当时，函数有极小值； ③函数在区间内单调递增；④当时，函数有极大值． 则上述判断中正确的是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．③ 【答案】D 【分析】根据导函数在图像中的正负，判断函数的单调性，并判断是否存在极值． 【详解】根据导数图像，可知在区间内导函数小于0，此时函数单调递减，在区间内大于0，此时函数单调递增，所以①错误． 当 时，函数单调递增； 当 时，函数单调递减，所以在时，函数有极大值，所以②错误． 当 时，函数单调递增，所以③正确． 当 时，，函数单调递增；当 时，，函数单调递增，所以不是函数的极值，所以④错误． 综上，只有③正确， 故选：D （设计意图：通过本例，同学们可以对函数变化趋势有了深刻认识和理解，知道函数单调性与极值间的关系。） 方法总结　解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值． 跟踪训练1　函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在区间内极大值点的个数与极小值点的个数之和为 ．    【答案】 【分析】设导函数在内的四个零点为，，，，且满足，结合导函数图象得到函数的单调性，即可求出函数在区间内的极值点. 【详解】设导函数在内的四个零点为，，，，且满足， 从而根据图象得到，当时，函数单调递增； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数