5.3.2第2课时　函数的最大(小)值教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

教学设计 课题名称 5.3.2第2课时　函数的最大(小)值 课时计划： 课时 第 课时 授课日期： 教学目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值． 重点难点 教学方法 教师讲授、师生互动、学生主导 科组模式 板书设计 作业布置 课后反思 教 学 过 程 设 计 教学环节 教师活动(可附带学生活动) 【导入新课】 同学们，上节课我们体验了在群山之间的穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，那么我们今天就来寻找群山间的最高峰和最低谷，在高峰上体验“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，同时在拥有“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值． （设计意图：回顾上节课知识要点，同时吸引同学们注意力，激发同学们的学习兴趣和动力。） 【讲授新课】 一、极值与最值的关系 问题1　同学们，观察以下图像，如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．那么，谁能找到函数的最大值和最小值吗？ 提示　最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得． 问题2　同学们，是不是任何时候都一定有最值呢？大家思考下开区间上的连续函数有最值吗？ 提示　如图． 容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到． （设计意图：通过图像对比，让同学们认识和理解极值与最值的区别，同时，对最值的取值要求有一个初步的判断。） 知识梳理 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 例1　如图是函数在区间上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值. 【答案】极小值为，极大值为；最小值是，最大值为. 【解析】利用函数的极值和最值的定义，结合题中图象即得结果. 【详解】由题图可知，在处取极小值，在处取极大值，所以极小值为，极大值为；比较极值和端点值可知函数的最小值是，最大值在b处取得，最大值为. （设计意图：通过本例，让同学们对函数极值和最值有个清晰的认识和辨析，能够较好理解最值的整体性性质。） 方法总结　最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． (3)函数f(x)的极值点在定义域内，但不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 跟踪训练1　下列结论中，正确的是（    ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值． B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值． C．若在上有极大值，则极大值一定是在和处取得． D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值． 【答案】D 【分析】 根据极值和最值的定义逐一分析判断即可. 【详解】函数在上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，故AB错误； 函数在上的极值一定不会在端点处取得，故C错误； 若在上连续，则在上存在最大值和最小值，故D正确. 故选：D. 二、求函数的最值 例2　求下列函数的最值： (1) ； (2)． 【答案】(1)无最小值，． (2)，． 【分析】（1）求导得，根据时的正负，列出表格，确定函数的单调区间，再求出最值即可； （2）求导得，由，可得在上恒成立，从而得在上单调递增，再根据单调性求解即可. 【详解】（1）解：因为函数的定义域为R， ， 当时，． 当变化时，，的变化情况如表所示． 2 ＋ 0 － 单调递增 单调递减 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以无最小值，且当时，． （2）解：因为， 又因为， 所以在上恒成立． 所以在上单调递增， 所以当时，； 当时，． （设计意图：通过本例，让同学们能够知道如何求某个函数最值，并且规范求解过程，同时，加深对最值的理解与运用。） 方法总结　求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值