专题19.1 平行四边形中的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题19.1 平行四边形中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 二、平行四边形的判定 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 （5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 · 典例分析 【典例1】已知，． （1）如图1，若以为边作等边，且点E恰好在边上，直接写出此时的面积； （2）如图2，若以为斜边作等腰直角，且点F恰好在边上，过C作交BF于G，连接． ①依题意将图2补全； ②用等式表示此时线段之间的数量关系，并证明； （3）如图3，以为边作，且，．若，直接用等式表示此时与的数量关系． 【思路点拨】 （1）作于点I，利用等边三角形的性质求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可； （2）①依照题意补全图形即可； ②延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J，利用证明，推出，，再证明，推出，即可证明； （3）连接，作并交的延长线于点K，推出四边形是平行四边形，得到是直角三角形，，求得即可解决问题． 【解题过程】 （1）解：作于点I， ∵是边长为2的等边三角形， ∴， ∴， ∴此时的面积为； （2）解：①补全图形如图， ②；理由如下， 延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 连接，作并交的延长线于点K， 由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即是直角三角形， ∵四边形是平行四边形，且， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． · 学霸必刷 1．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形中，．    （1）求证：四边形是平行四边形； （2）是上一点，连接，在上，连接、，，，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，．求线段的长度．   2．（22-23八年级下·广东·开学考试）如图，在平行四边形中，，对角线、相交于点，将直线绕点顺时针旋转一个角度，分别交线段、于点、，已知，，连接．    （1）如图①，在旋转的过程中，请写出线段与的数量关系，并证明； （2）如图②，当时，请写出线段与的数量关系，并证明； （3）如图③，当时，求的面积． 3．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）在中，，点P为所在平面内的一点，过点P分别作交于点，交于点，交于点． （1）如图1，若点在边上，此时，直接写出、、与满足的数量关系； （2）如图2，当点P在内，猜想并写出、、与满足的数量关系，然后证明你的猜想； （3）如图3，当点P在外，猜想并写出、、与满足的数量关系．（不用说明理由） 4．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知中，一动点在边上，以每秒1cm的速度从点向点运动． （1）如图，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．    （2）如图，在（1）的条件下，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，直接写出：的面积为___________．    （3）如图，另一动点在边上，以每秒4cm的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点停止运动时点也停止，设运动时间为，若，则___________秒时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．      5．（22-23八年级下·浙江金华·期中）如图1，在中，，，，点P，Q分别是上的动点，P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t秒．过点Q作于点M．    （1）______，______．（用含t的代数式