专题06 四边形常见模型（考点清单+7种题型解读）-2023-2024学年八年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版）

专题06 四边形常见模型 （7种题型解读） 【考点题型一】垂美四边形模型 【模型介绍】对角线互相垂直的四边形为垂美四边形. 已知 图示 结论（性质） 证明过程 四边形中AC⊥BD ①S垂美四边形ABCD=AC•BD ②AB2+DC2=AD2+BC2 如图，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP DP2+BP2=AP2+PC2 ∵DP2+BP2 =DP2+BC2+PC2 PC2+AP2 =PC2+DP2+AD2 而AD=BC ∴ DP2+BP2=AP2+PC2 如图，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP AP2+PC2=DP2+BP2 过点P分别作PE⊥AB、PF⊥BC、PG⊥CD、PH⊥AD垂足分别为点E、点F、点G、点H 由已知条件可得HF⊥EG ∴HG2+EF2=EH2+FG2(证明过程略) 而AP=EH，BP=EF，CP=FG，DP=GH ∴ AP2+PC2=DP2+BP2 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．数学兴趣小组的同学们在老师的带领下开展了对垂美四边形的研究． (1)【概念理解】如图2，在四边形中，，，则四边形______（填“是”或“不是”）垂美四边形． (2)【性质探究】如图1，四边形的对角线交于点，．小莹利用勾股定理的知识探索出四边形的四条边具有以下数量关系：．请判断小莹的结论是否正确，并说明理由． (3)【问题解决】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，已知，，请直接写出的值． 2．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．通过探究，我们得出垂美四边形的面积S等于两对角线乘积的一半．      (1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______． (2)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，． ①求证：四边形为垂美四边形； ②四边形的面积是_______． 3．（22-23八年级下·湖北孝感·期中）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，已知四边形是垂美四边形． ①若，则它的面积为_____________； ②若，探究的数量关系． (2)如图2，已知分别是中边的中点，，，请运用②中的结论，直接写出的长为___________________． 4．（22-23八年级下·福建厦门·期中）在学习了平行四边形章节后，小明根据所学习的内容，试着创造了一个新的特殊四边形，规定：对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”如图1所示． (1)【概念理解】证明：有三条边相等的垂美四边形是菱形；（写出已知、求证） (2)【性质探索】若记垂美四边形面积为，试直接写出与、之间的关系； (3)【性质应用】根据不完全统计，勾股定理的证明有400多种方法，小明为了证明勾股定理，尝试用两个全等的直角三角形（）如图2摆放，其中、、在一条直线上，若假设直角三角形三边长为，，，即，，，试利用（2）中结论证明勾股定理． 【考点题型二】中点四边形模型 【模型介绍】依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形. 中点四边形的性质： 已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则 ① 顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形. ② 中点四边形的周长等于原四边形对角线之和. ③ 中点四边形的面积等于原四边形面积的一半. ④ 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形. ⑤ 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形. ⑥ 顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形. 速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正. 5．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）如图,正方形的边长为,顺次连接正方形四边的中点得到第一个正方形,又顺次连接正方形四边中点得到第二个正方形,…．以此类推,则第六个正方形的周长是 ;面积是 ．    6．（22-23八年级下·山东淄博·期中）如图，已知四边形是矩形． (1)如图1，若分别是的中点，求证：四边形是菱形； (2)若菱形的三个顶点分别在上，连接． ①如图2，若， ，求的长； ②如图3，若，请写出面积的最小值． 7．（20-21八年级下·河北石家庄·期中）四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形