专题02 复数-2023-2024学年高一数学单元复习（知识梳理+热考题型+单元检测）（人教A版2019必修第二册）

专题02 复数（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 5 【考点1】数系的扩充和复数的概念 5 【考点2】复数的几何意义 6 【考点3】复数的加、减运算及其几何意义 7 【考点4】复数的乘、除运算 8 【考点5】复数的三角表示 9 【单元检测】 10 【基础卷】 10 【能力卷】 13 知识梳理 一、复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. (2)复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 二、复数的分类 复数的分类 (1)设复数z＝a＋bi(a，b∈R). ①z为实数⇔b＝0， ②z为虚数⇔b≠0， ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. (2)集合表示： 三、复数相等 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R). 则z1＝z2⇔a＝c且b＝d. 四、复数与复平面内点的关系 (1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. (3)复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. 五、复数与复平面内向量的关系 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 六、复数的模与共轭复数 (1)复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. ②记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记为|z|或|a＋bi|. ③公式：|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 如果b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一个实数，它的模就等于|a|(a的绝对值). (2)共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用__表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi. 七、复数的加法法则 (1)运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. (2)复数加法的几何意义 两个向量1与2的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行. 如图，复数z1＋z2是以1，2为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. (3)加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 八、复数的减法法则 (1)运算法则 复数的减法是加法的逆运算； 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，两个复数的差是一个确定的复数. (2)复数减法的几何意义 如图，复数z1－z2是从向量2的终点指向向量1的终点的向量所对应的复数. 九、复数的乘法及其运算律 (1)复数代数形式的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 十、复数的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i. 十一、复数的三角表示 (1)复数的三角形式 一般地，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成r(cos__θ＋isin__θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角，r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，a＋bi(a，b∈R)叫做复数的代数表示式，简称代数形式. (2)辐角的主值 规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg__z. (3)复数三角形式的乘法 两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. (4)复数三角形式的除法 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数