2024年中考数学（华东师大版）二轮复习专题特训：构造三角函数模型解决实际问题课件

专题特训　 构造三角函数模型解决实际问题 类型一　构造单一直角三角形解决实际问题 1. （2022·江西）如图所示为某雕塑的示意图，AB∥CD∥FG，A、D、H、G四点在同一条直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m. （1） 求证：四边形DEFG为平行四边形. 解：（1） ∵ AB∥CD，∴ ∠CDG＝∠A.∵ ∠FEC＝∠A， ∴ ∠FEC＝∠CDG.∴ EF∥DG.∵ FG∥CD，∴ 四边形DEFG为平行四边形. （第1题） （2） 求该雕塑的高（即点G到AB的距离）（结果精确到0.1m，参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）. 解：（2） 如图，过点G作GP⊥AB于点P.∵ 四边形DEFG为平行四边形，∴ DG＝EF＝6.2m.∵ AD＝1.6m， ∴ AG＝DG＋AD＝6.2＋1.6＝7.8（m）.在Rt△APG中，∵ ∠A＝72.9°，sinA＝，∴ PG＝AG·sinA≈7.5m. ∴ 该雕塑的高约为7.5m. （第1题） 类型二　构造形如 “⁠” 的两个直角三角形解决实际问题 2. （2022·武汉）如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的点D处同时施工.取∠ABC＝150°，BC＝1600m，∠BCD＝105°，则C、D两点间的距离是 　800　⁠m.  （第2题） 800　 3. （2022·湘潭改编）某中学九年级数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动.小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了如图所示的伞骨结构，伞柄AH始终平分∠BAC，AB＝AC＝20cm，当∠BAC＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC＝90°.最少需要准备多长的伞柄（结果精确到1cm，参考数据：≈1.732）？ （第3题） 解：如图，过点B作BE⊥AH于点E.∵ ∠BAC＝120°，AH始终平分∠BAC， ∴ ∠BAE＝∠CAD＝60°.在Rt△ABE中，∵AB＝20cm，cos∠BAE＝，sin∠BAE＝，∴ AE＝AB·cos∠BAE＝10cm，BE＝AB·sin∠BAE＝10cm.在△ADB和△ADC中，∴ △ADB≌△ADC.∴ ∠ADB＝∠ADC.∵ ∠BDC＝90°，∴ ∠ADB＝∠ADC＝45°.∴ 易得△BDE是等腰直角三角形.∴ ED＝BE＝10cm.∴ AD＝AE＋ED＝10＋10≈27.32（cm）.∵ ≈0.618， ∴ ≈0.618.∴ DH≈44.2cm.∴ AH＝AD＋DH≈72cm.∴ 最少需要准备72cm长的伞柄. 类型三　构造形如 “⁠” 的两个直角三角形解决实际问题 4. ★如图所示为一路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC、支架BC与立柱MN分别交于A、B两点，灯臂AC与支架BC交于点C.已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，求支架BC的长（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）. （第4题） 解：如图，过点C作CD⊥MN于点D，则∠CDB＝90°.∵ ∠CAD＝60°，AC＝40cm，∴ CD＝AC·sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm）.∵ ∠ACB＝15°，∴ ∠CBD＝∠CAD－∠ACB＝45°.∴ BC＝＝≈49（cm）. ∴ 支架BC的长约为49cm. 类型四　构造形如 “⁠” 的两个直角三角形解决实际问题 5. （2022·广安）九年级（2）班学生到某劳动教育实践基地（如图）开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，然后向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上.求菜园与果园之间的距离（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）. （第5题） 解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，作DF⊥BC，交BC于点F，则易得∠CDF＝37°，四边形BEDF是矩形.∴ DF＝BE，DE＝BF.在Rt△CDF中， ∵ ∠CDF＝37°，∴ CF＝CD·sin∠CDF≈180米，DF＝CD·cos∠CDF≈240米.∴ BE＝DF＝240米.∵ AB＝450米，∴ AE＝AB－BE＝210米.在Rt△ADE中，∵ ∠A＝65°，∴ DE＝AE·tanA≈449米.∴ BF＝DE＝449米.∴ BC＝BF＋CF＝629米. ∴ 菜园与果园之间的距离约为629米. 类型五　构造形如 “⁠” 的两个直角三角形解决实际问题 6. （2021