2024年中考数学（华东师大版）二轮复习专题特训：二次函数与几何图形的综合——线段和（差）的最值问题课件

专题特训　 二次函数与几何图形的综合——线段和（差）的最值问题 类型一　二次函数中的线段和的最值问题 1. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝－x＋2过B、C两点. （1） 求抛物线对应的函数表达式. 1 2 3 4 解：（1） 在y＝－x＋2中， 令y＝0，得0＝－x＋2，解得x＝4； 令x＝0，得y＝2. ∴ 点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2）. 把（4，0）、（0，2）分别代入 y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋x＋2. 1 2 3 4 （2） 若M（3，2）是抛物线上的一点，D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴，交直线BC于点E，P为抛物线的对称轴上一动点.当线段DE的长最大时，求PD＋PM的最小值. 解：（2） 设点D的坐标为（m，－m2＋m＋2），则点E的坐标为（m，－·m＋2）. ∴ DE＝－m2＋m＋2－（－m＋2）＝－m2＋2m＝－·（m－2）2＋2. 1 2 3 4 4 ∵ －＜0，0＜m＜4，∴ 当m＝2时，线段DE的长最大，此时点D的坐标为（2，3）. ∵ 点C（0，2）、M（3，2）均在抛物线上， ∴ 点C和点M关于抛物线的对称轴对称. 如图，连结CD，则CD与抛物线的对称轴的交点， 即为当PD＋PM的值最小时的点P.易知PC＝PM， ∴ PD＋PM＝PD＋PC＝CD，即PD＋PM的最小值为CD的长. 如图，连结CM，交直线DE于点F，则∠DFC＝90°， 点F的坐标为（2，2），∴ CF＝2，DF＝1.∴ CD＝＝. ∴ PD＋PM的最小值为. 1 2 3 4 2. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点N，过点A的直线l：y＝kx＋n（k≠0）与y轴交于点C，与抛物线y＝－x2＋bx＋c的另一个交点为D.已知A（－1，0）、D（5，－6），P为抛物线y＝－x2＋bx＋c上一动点（不与点A、D重合）. （1） 求抛物线和直线l对应的函数表达式. 解：（1） 将（－1，0）、（5，－6）代入y＝kx＋n（k≠0），得解得 ∴ 直线l对应的函数表达式为y＝－x－1. 将（－1，0）、（5，－6）代入y＝－x2＋bx＋c，得解得 ∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋3x＋4. （第2题） 1 2 3 4 （2） 当点P在直线l上方的抛物线上时，过点P作PE∥x轴，交直线l于点E，作PF∥y轴，交直线l于点F，求PE＋PF的最大值. 解：（2） 设直线PF交x轴于点G. ∵ 直线l对应的函数表达式为y＝－x－1， ∴ A（－1，0）、C（0，－1），则OA＝OC＝1. ∴ △ACO是等腰直角三角形.∴ ∠GAF＝45°. （第2题） 1 2 3 4 ∵ PE∥x轴，PF∥y轴，∴ 易得PE⊥PF，∠PEF＝∠GAF＝45°. ∴ ∠EPF＝90°.∴ ∠PFE＝45°＝∠PEF.∴ PE＝PF. 设点P的坐标为（a，－a2＋3a＋4），－1＜a＜5，则点F的坐标为（a，－a－1）.∵ 点P在直线l上方的抛物线上， ∴ PE＋PF＝2PF＝2（－a2＋3a＋4＋a＋1）＝－2（a－2）2＋18. ∵ －2＜0，且－1＜a＜5，∴ 当a＝2时，PE＋PF取到最大值，为18. 1 2 3 4 类型二　二次函数中的线段差的最值问题 3. （2022·常德）如图，抛物线过点O（0，0）、A（5，5），且它的对称轴为直线x＝2. （1） 求此抛物线对应的函数表达式. 解：（1） ∵ 抛物线过点O（0，0），且它的对称轴为直线x＝2，∴ 抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（4，0）. 设抛物线对应的函数表达式为y＝ax（x－4）. 把（5，5）代入，得5a＝5，解得a＝1. ∴ y＝x（x－4）＝x2－4x. ∴ 此抛物线对应的函数表达式为y＝x2－4x. （第3题） 1 2 3 4 （2） B是抛物线的对称轴上一点，且点B在第一象限内，若S△OAB＝15，求点B的坐标. 解：（2） ∵ B是抛物线的对称轴上一点，且点B在第一象限内， ∴ 设点B的坐标为（2，m）（m＞0）. 设直线OA对应的函数表达式为y＝kx（k≠0）. 把（5，5）代入，得5k＝5，解得k＝1. ∴ 直线OA对应的函数表达式为y＝x. （第3题） 1 2 3 4 如图①，设直线OA与抛物线的对称轴交于点H， 则点H的坐标为（2，2）.∴ BH＝｜m－2｜. ∵ S△OAB＝15，∴ ×｜m－2｜×5＝15， 解得m1＝8，m2＝－4（不合题意，舍去）. ∴ 点B的坐标为（2，8）. 1 2 3 4 （3） 在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA－PB的值最大时，求点P的坐标及PA－