2024年中考数学（华东师大版）二轮复习专题特训：二次函数与几何图形的综合——特殊图形问题课件

专题特训　 二次函数与几何图形的综合——特殊图形问题 类型一　二次函数与等腰三角形的存在性问题 1. 如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋4与x轴交于点A（1，0）、B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝. （第1题） （1） 求抛物线对应的函数表达式. 解：（1） 根据题意，得 解得∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝x2－5x＋4.　 1 2 3 4 （2） 如图①，若P是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，连结OQ.当线段PQ的长最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由. 解：（2） 四边形OCPQ是平行四边形. 理由：易得B（4，0）、C（0，4）， ∴ 易得直线BC对应的函数表达式为y＝－x＋4. ∵ 点P在线段BC上，∴ 可设P（t，－t＋4）（0＜t＜4）. ∵ PQ∥y轴，∴ Q（t，t2－5t＋4）. ∴ PQ＝（－t＋4）－（t2－5t＋4）＝－t2＋4t＝－（t－2）2＋4. ∴ 当t＝2时，线段PQ的长最大，为4.∵ OC＝4，∴ OC＝PQ. 又∵ OC∥PQ，∴ 当线段PQ的长最大时，四边形OCPQ是平行四边形.　 1 2 3 4 （3） 如图②，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ.在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（3） 存在.∵ C（0，4），D是OC的中点，∴ D（0，2）. 由（2），知Q（2，－2）、P（2，2）. ∵ PQ∥OC，∴ ∠ODQ＝∠PQD. 又∵ ∠DQE＝2∠ODQ，∴ ∠PQD＝∠PQE. 如图②，设点D（0，2）关于PQ的对称点为M， 则M（4，2）.易得直线QE过点M（4，2）、Q（2，－2）， 1 2 3 4 ∴ 易得直线QE对应的函数表达式为y＝2x－6.联立 解得∴ E（5，4）. 假设y轴上存在点F（0，m），使△BEF为等腰三角形. ① 若BF＝EF，则BF2＝EF2，即42＋m2＝52＋（4－m）2，解得m＝，∴ F（0，）. 1 2 3 4 得m2－8m＋24＝0.∵ Δ＝（－8）2－4×1×24＝－32＜0， ∴ 方程没有实数根.∴ 在y轴上不存在点F，使EF＝BE. 综上所述，在y轴上存在点F，使得△BEF为等腰三角形，点F的坐标为（0，）或（0，1）或（0，－1）. ② 若BF＝BE，则BF2＝BE2，即42＋m2＝（5－4）2＋42，解得m＝±1，∴ F（0，1）或F（0，－1）.③ 若EF＝BE，则EF2＝BE2，即52＋（4－m）2＝（5－4）2＋42.化简， 1 2 3 4 类型二　二次函数与直角三角形的存在性问题 2. ★如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点的坐标为（2，－1），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）. （1） 求抛物线对应的函数表达式. 解：（1） ∵ 抛物线的顶点的坐标为（2，－1）， ∴ 设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x－2）2－1（a≠0）.把（0，3）代入，可得a×（0－2）2－1＝3，解得a＝1. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝（x－2）2－1＝x2－4x＋3.　 （第2题） 1 2 3 4 （2） 设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连结AC、AD，E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F，连结DF.是否存在点E，使△DEF为直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（2） 存在.在y＝x2－4x＋3中，令y＝0， 得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3. ∴ 点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）. ∵ 点C的坐标为（0，3）， ∴ 易得直线BC对应的函数表达式为y＝－x＋3. （第2题） 1 2 3 4 由（1），可知抛物线的对称轴为直线x＝2. ∴ 在y＝－x＋3中，令x＝2，则y＝－2＋3＝1. ∴ 点D的坐标为（2，1）. ∴ 易得AD2＝2，AC2＝10，CD2＝8.∴ AD2＋CD2＝AC2. ∴ △ADC为直角三角形，且∠ADC＝90°. 由题意，知EF∥y轴，∴ ∠FED＝∠OCB≠90°. ∴ △DEF为直角三角形，分∠DFE＝90°和∠EDF＝90°两种情况讨论. 1 2 3 4 ① 当∠DFE＝90°时，DF∥x轴，则点D、F的纵坐标相同. ∴ 点F的纵坐标为1.∵ 点F在抛物线上，∴ 令x2－4x＋3＝1，解得x1＝2＋，x2＝2－. ∴ 点F的坐标为（2＋，1）或（2－，1）. ∵ EF⊥x轴，∴ 点E与点F的横坐标相同. ∴ 点E的横坐标为2＋或2－.∵ 点E在直线BC上， ∴ 当x＝2＋时，y＝－x＋3＝1－； 当x＝2－时，y＝－x