2024年湖南中考湘教版数学一轮复习---一元二次方程 课件

一元二次方程 一元二次方程的概念及其解法 1.一元二次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程. 它的一般形式是　 　(a,b,c是已知数,a≠0).  ax2+bx+c=0 2.一元二次方程的解法 一次项系数一半的平方 一元二次方程解法口诀: 方程没有一次项,直接开方最理想. 如果缺少常数项,因式分解没商量. b,c相等都为零,等根是零不要忘. b,c同时不为零,因式分解或配方. 也可直接套公式,因题而异择良方. 方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式和根与系数的关系 b2-4ac 有两个不相等 相等 没有 一元二次方程的应用 常见类型 (1)增长率问题:设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为　 　.  (2)利润问题:单件利润=单价-成本; 总利润=单件利润×销量=总收入-总成本. (3)面积问题:对于规则图形,可直接套用面积公式列方程求解;对于不规则图形,可通过割补使其变为规则图形后,再根据面积间的和、差关系列方程求解. a(1+x)2 (4)循环球赛问题: 单循环:x个队的单循环赛场数=　 　;  双循环:x个队的双循环赛场数=x(x-1). (5)数字问题:一个两位数的十位数字为a,个位数字为b,则这个两位数可表示为　 　.  10a+b 一元二次方程的相关概念(易错点) 把x=-1代入方程求出m的值,再通过解方程或利用根与系数的关系求出另一个实数根. [变式1] 关于x的方程x2+4kx+2k2=4的一个根是-2,则k的值为( ) A.2或4 B.0或4 C.-2或0 D.-2或2 B 一元二次方程的解法 [例2] 解下列方程: (1)2x2+3x-3=0; (2)x(2x-5)=10-4x. [变式2] (2023邵阳新邵期末)方程(x-2)2=3(x-2)的解是( ) A.x=2 B.x=3 C.x1=2,x2=3 D.x1=2,x2=5 [变式3] (2023株洲天元区模拟)一元二次方程x2-2x+m=0配方后得(x-1)2=n,则m+n的值是　 　.  D 1 根的判别式和根与系数的关系 [例3] 已知m为实数,关于x的方程x(x-2m)+m(m-1)=0有实数根. (1)求m的取值范围; 解:(1)原方程化成一般形式,得 x2-2mx+m2-m=0, ∵此方程有实数根, ∴Δ=4m2-4(m2-m)=4m≥0, 解得m≥0. 即m的取值范围是m≥0. (2)若方程两实根的平方和为12,试求m的值. 用一元二次方程的根与系数的关系求字母系数的值时,不要忽略根的判别式b2-4ac≥0(或>0)这一重要条件. [变式4] (2022长沙)关于x的一元二次方程x2+2x+t=0有两个相等的实数根,则实数t的值为　 　.  [变式5] (2022娄底)已知实数x1,x2是方程x2+x-1=0的两根,则x1x2= 　 　.  1 -1 一元二次方程的应用 [例4] (9分)(长沙中考)长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导.某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导.据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生 2.42万人次. (1)如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率. [规范解答] 解:(1)设增长率为x.根据题意,得 2(1+x)2=2.42,…………………………3分 解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%. 答:增长率为10%.………………………6分 (2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次? [规范解答] 解:(2)2.42(1+0.1)=2.662(万人).……………………8分 答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.………9分 (1)增长率问题所列一元二次方程一般用直接开平方法求解; (2)增长(下降)率一般不能是负数,下降率要小于1. [变式6] (2023长郡教育集团一模)在“双减”政策的推动下,某初级中学学生课后作业时长明显减少.2021年上学期平均每天作业时长为 100 min,经过2021年下学期和2022年上学期两次调整后,2022年下学期平均每天作业时长为70 min.若该校平均每天作业时长这两学期每学期的下降率都为x,则可列方程为( ) A.100(1-x2)=70 B.70(1+x2)=100 C.100(1-x)2=70 D.70(1+x)2=100 C 命题点1　解一元二次方程 1.(2021益阳)一