2025届高三数学一轮复习夯实练26：破解“双变量问题”的基本策略

一轮复习夯实26破解“双变量问题的基本策略 1.(2024四川宜宾高三模拟)已知函数f)=+1-xnx的图象在x=1处的切线与直线xy=0平行 (1)求函数x)的单调区间， (2)若1x∈(0，+o),且>2时，)x2)>m(-X,求实数m的取值范围 1 2.(2024山东日照高三期末)已知函数fy)=nx+x五-2a(a∈R), (1)讨论函数x)的单调性， (2)若x)有两个极值点x,且∈[e,e2]求)-f)的取值范围. 2 3.(2024江苏无锡高三期中)设函数f)=专x2-ax+(a-1)hxa>1. (1)曲线y=x)在点(22)处的切线与x轴平行，求实数a的值， (2)讨论函数x)的单调性 )证明若<5则对任意∈0，+四，有2>1 4.(2024江西临川高三模拟)设m为实数，函数fx)=nx+2m. (1)当m=-1时，求函数x)的单调区间： (2)若方程x)-(2m+1x+n-2(n∈R)有两个实数根1<x2),证明：2+2>e.(注：e=271828.是自然 对数的底数) 5.已知函数fx)=e+1-2x+1,gx)=lnxx+2 3 (1)求函数gx)的极值： (2)当x>0时，证明：x)≥g) 6.设函数fx)=x-alnx-2 (1)求x)的单调区间： (2)若a=1,fx)为的导函数，当x>1时，nx十1>(1十fx),求整数k的最大值. 7.已知函数x)=xe 4 (1)求函数x)的单调区间和极值： (2)若灼x2且x)=x2),求证：+x2>2 8.已知函数x)=lnx十a)一x-1x十a,函数gx)满足lngx)十x]=nx十x一a (1)讨论函数x)的单调性： (2)若g)有两个不同的零点M,2,证明：2<1. 参考答案 1.解(1)/x)=a-1nx,所以x)的图象在(11)处的切线斜率为a-1,由切线与直线xy=0平行，可 得a-1-1,即a=2,因此fx)=2x+1-xnx,fx)=1-lnx 由fx)>0,可得0<x<e,由fx)<0,可得x>e,则fx)在(0，e)内单调递增，在(e,+o)上单调递减. (2)若x12∈(0，+oo,且x1>x2时，s)x2)>mX-mX三即有f)mX>fx2)mX▣成立 设gx)=fxy2,x>0,所以g)=x)-m2在(0，+o)上单调递增，即有g《x)=1-nx-2m≥0对x>0恒 成立，可得2m≤在(0，+o)上恒成立 令华，则)器，令h)0,可得x-e2,所以)在(0，e2吗内单调递或在(e2+o止单调 递增，即有hx)在x=e2处取得极小值，且为最小值，又e)=-言， 可得2m立，解得m最， 则实数m的取值范围是(o,是 x2+(2a)Y+1 2.解(1)函数)的定义域为0，+o0)x件x∈(0，+o) 令fx)=0,得x2+(2-ax+1=0, 当2，x>0时，x)>0,所以x)在(0，+oo)上单调递增； 当a>2时，方程x2+(2-a)x+1=0的d=a2-4a=a(a-4) ①当2<a4时，0，则fx)≥0，且不恒为0，所以x)在(0，+o)上单调递增： ②当a>4时，>0，令x2+(2-0r+10,得2坦>0.2屋型，当x∈0，)U6,+四时， 2 2 fx)>0当x∈(1，)时，/x)0: 所以在2如，24)内单调递减在022+ 2 2 2 ,+∞)上单调递增 综上所述 当c4时，尤x)在(0+oo)上单调递增： 当o心4时在2色，2)内单调递减在0,2,24，+四上单调递增 2 2 2 2 (2)由1)得，若)有两个极值点1，则a>4,且+2=a-22=1,即a=+2+2,2安 故h+京2a6+京2a-h密n密+等-器-2加 西+房∈[飞，e,令g-2h+京x∈ee当x∈e,e2时g)是-京-1=y<0,所以3的 在e,e2]上单调递减： 即ge2gg(e,故4+立-e2gr)2+e,综上所述)的取值范围为4+÷-e2,2+是-e 3()解)=xa+装，所以曲线y几)在点(22》)处的切线斜率为k2)=2-a+号-0，解得a=3. (2)解)的定义域为0，+o)f)=x-a+安=a=a] (i)若a-1=L即a=2则f)型，故在0，+四止单调递增 6 (i)若c-1<1,即1<a2,则当x∈(a-l,1)时，fx)<0: 当x∈(0，a-1)或x∈(1，+o)时，/fx)>0,故x)在(a-1,1)内单调递减，在(0，a-1)和(1，+o)上单调递增. (i若a-1>1,即a>2,同理可得x)在(1，a-1)内单调递减，在(0,1)和(a-1,+o)上单调递增 3)证明欲证>1成立，即证明=+型>0，设函数 1 1x2 g树)=x)+x=专x2-+(a-1)lnx+x,则g《)=x-a+装+1≥2√x安a+1=1-(√a-