第六章 计数原理 小结（第1课时 梳理知识，构建网络） 教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章小结 第1课时 梳理知识，构建网络 教学内容 梳理计数原理核心知识，建构本章知识网络. 教学目标 （1）能通过对本章知识的梳理与回顾，建构本章知识体系. （2）能用自己的语言解释两个计数原理、排列、组合的内涵，能推导排列数公式、组合数公式及二项式定理. （3）能用计数原理、排列与组合解决综合问题，能用自己的语言说明解决计数问题的过程中蕴含的分类讨论、化归与转化等数学思想方法. （4）能用二项式定理解决综合问题，提升数学运算素养. 教学重点与难点 （1）教学重点：建构本章知识网络；应用本章知识解决综合问题. （2）教学难点：建立本章知识之间的联系，提炼知识蕴含的数学思想方法. 教学过程设计 环节一 自主研学，反思总结 问题1 阅读教科书第36~37页的小结内容，回顾本章的知识、思想与方法，你能回答第37页的5个问题吗？你能尝试自己画出本章知识结构图吗？ 师生活动 学生自主阅读教材小结内容，根据小结内容，结合已有认知，对本章知识、思想、方法进行梳理总结，初步建构本章知识体系.教师可以通过展示几个学生画的本章知识结构图，引导学生进行讨论. 设计意图 借助教科书第36～37页的“本章知识结构”与“回顾与思考”，组织学生自主学习，促使学生系统梳理本章的内容及由内容所反映的数学思想与方法. 环节二 合作探究，归纳思想 引导语 前面已经梳理了本章知识，下面我们一起回答教科书第37页的5个问题，进一步理解本章的主要内容及其蕴含的数学思想方法. 问题2 在数学学习中，举例是理解一般原理的好方法.你能再举几个应用两个计数原理的例子吗？你觉得在分类和分步时需要注意什么？ 师生活动 组织学生先在小组内交流，再抽选两组学生代表在全班交流展示.教师要注意引导学生进一步明晰“完成一件事情”该分类还是分步，明确分类要做到不重不漏，分步要做到步骤完整. 如有必要，教师可补充如下例子：有多少个不同的一位数？要确定一个一位数，只要从1~9的9个阿拉伯数字中选出一个数就行，因此共有9个一位数；有多少个不同的两位数？要确定一个两位数，要把两个数位上的数都确定了才能组成一个两位数，因此可以分两步：第一步确定十位上的数，十位上的数不能是0，因此有9种方法，第二步，确定个位上的数，有10种方法，根据分步乘法计数原理，共有个两位数. 教师总结形成两个计数原理的知识网络图，如图6.4-1所示. 设计意图 发挥学生的主体地位，教师引导学生交流展示，运用两个计数原理知识举例，重点让学生了解“完成一件事”的含义，由特殊例子回归到一般原理，促进学生理解两个计数原理“分类加法”与“分步乘法”的本质，加强学生运用知识解决问题的能力，强化特殊到一般的基本数学思想与方法，弄清在利用两个计数原理解题过程中应注意的问题. 追问 你能总结分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系吗？ 师生活动 引导学生总结两个计数原理的区别与联系，形成表6.4-1的结论 表6.4-1 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 都是完成一件事情的不同方法的种数问题 区别 1.完成一件事情有类方法，关键是分类；2.每类方法都能独立完成这件事情 1.完成一件事情有个步骤，关键是分步； 2.每个步骤相互依存，只有每个步骤都完成，才能完成这件事情 问题3 加强数学知识之间的联系，是深入理解知识的重要方法.例如，把本章的知识与集合有关的内容联系起来，可以简洁地表述有关原理.你能举例说明吗？ 师生活动 教师引导学生举例说明计数原理与集合知识的联系，师生共同探讨.组合问题中元素的互异性与无序性对应集合元素的互异性与无序性.从集合的角度来考虑，分类加法计数原理表明了这样的事实：将集合分成一些两两不相交的子集，其中的元素个数分别为，那么集合的元素个数，这和互斥事件加法公式及全概率公式的思想是一致的.从分类加法计数原理、组合和二项式定理的角度推导含有个元素的集合的子集个数，按照子集元素个数分类，可以分为含有个元素的类子集，集合元素具备互异性和无序性，因此含有个元素的子集个数就是从个不同元素中取出个元素的组合数，结合分类加法计数原理和二项式定理，含有个元素的集合共有个子集. 设计意图 从集合的基本运算角度理解分类加法计数原理，借助元素的互异性、无序性理解排列数与组合数，从分类加法计数原理、组合和二项式定理的角度理解元集合的子集个数，促进学生加强知识之间的内在联系，融会贯通，从不同角度深度理解相关知识的内涵，把握知识的整体性，提升学生综合应用知识的能力. 问题4 排列、组合是特殊的计数问题，你能举例说明特殊在哪些方面吗？ 师生活动 指导学生展示交流相关实例，最后达成共识：排列的特殊性在于排列中元素的“互异性”和“有序性”，组合的特殊性在于它只有元素的“互异性”而不需要考虑顺序