圆锥曲线：离心率问题 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

圆锥曲线：离心率问题 离心率问题 【基础知识框架】 1.椭圆 (1)椭圆的标准方程：或 (2)特征值：长轴长，短轴长，焦距，. (3)离心率： (4)离心率的意义：，越接近0，椭圆越圆，越接近1，椭圆越扁. 2.双曲线 (1) 双曲线的标准方程：或 (2)特征值：实轴长，虚轴长，焦距，. (3)离心率： (4)离心率的意义：，离心率越大，双曲线的开口越大. 3.求离心率的一般方法 (1)定义法：根据椭圆或者双曲线的定义求出、，然后用定义得到离心率. (2)构造齐次方程法：根据题设条件，借助和之间的关系，构造二次式，列式时常用公式代替式子中的，同除，得到关于的一元方程，从而解得离心率. 4.构造方程的一般方法 (1)表示边：圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理、成比例线段. (2)表示坐标的方法：向量、函数解析式、曲线解析式，点差法. (3)常见角度关系：公共角、补角、余角. 【例题分析】 考向一 直接求、的值或利用、的关系求离心率 例1．（2024·湖北·二模）已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．（2024·贵州黔东南·二模）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 例3．（2024·重庆·模拟预测）若椭圆：与双曲线：的离心率之和为，则（    ） A．2 B． C． D．1 例4．（2024·湖南·二模）已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 考向二 构造齐次方程求离心率 例5．（2024·广东广州·一模）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 例6．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的左支上，，的周长为，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 例7．（2024·贵州·三模）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 例8．（2024·河北·一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 例9．（2022•甲卷）椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为　　 A． B． C． D． 例10．（2022•乙卷•多选）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【变式训练】 考向一 直接求、的值或利用、的关系求离心率 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的焦距为2，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆的长轴长与短轴长之差为2，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B． C． D．2 3．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为 . 4．（22-23高二上·北京·期中）已知双曲线C：的一条渐近线为，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 考向二 构造齐次方程求离心率 5．（2024·陕西榆林·二模）已知为双曲线的两个焦点，为上一点，若，且为等腰三角形，则的离心率为（    ） A． B．2 C．或 D．2或3 6．（2024·江苏·一模）在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 7．（2024·广东·一模）已知O为双曲线C的中心，F为双曲线C的一个焦点，且C上存在点A，使得，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．5 D．7 8．（2024·山东菏泽·一模）已知斜率为的直线过双曲线的右焦点且交双曲线右支于A、B两点，在第一象限，若，则的离心率为 ． 9．（2021•甲卷）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为　　 A． B． C． D． 10．（2021•天津）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于，两点，交双曲线的渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率为　　 A． B． C．2 D．3 【真题链接】 1．（2023•港澳台高考）若双曲线焦点在轴上，渐近线为，则离心率为 　 　． 2．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为　 　． 3．（2022•浙江高考）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于