6.3.2 二项式系数的性质 教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3二项式定理 第2课时 二项式系数的性质 教学内容 二项式系数的性质. 教学目标 （1）通过“杨辉三角”和函数的图象分析，能发现和推导二项式系数的性质，体会从特殊到一般的归纳思想. （2）通过对二项式定理中的关系与取值的探讨，体会一般到特殊的思想与赋值法的作用，能应用二项式系数的性质解决简单的实际问题. 教学重点与难点 （1）教学重点：二项式系数性质及其应用. （2）教学难点：二项式系数性质的推导. 教学过程设计 环节一 复习回顾，引出课题 问题1 什么是二项式定理？二项展开式的通项是什么？通项的二项式系数是多少？ 师生活动 在学生回答的基础上，教师指出：的展开式的二项式系数，，，…，，…，有很多有趣的性质，这是我们接下来要研究的课题. 设计意图 在复习回顾的基础上引出本节课的学习内容. 环节二 图形直观，发现规律 问题2 用计算工具计算的展开式的二项式系数，并填入表6.3-1中. 表6.3-1 的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 通过计算、填表，你发现了什么规律？ 师生活动 学生完成填表，从表6.3-1中学生容易发现，每一行中的二项式系数具有对称性，接着教师书写杨辉三角形式. 为了便于发现规律，不妨将上表写成如图6.3-1所示的形式 教师指出：这就是著名的杨辉三角形，南宋著名数学家杨辉1261年所著《详解九章算术》一书中有详细记录.在欧洲它叫帕斯卡三角形，是帕斯卡在1654年发现的，比杨辉要晚约400年.在代数的研究中，表示形式的适当变化常常可以帮助我们发现某些规律. 设计意图 通过学生填表、教师书写杨辉三角，巩固二项式定理，熟悉二项式系数的运算，为发现二项式系数性质做铺垫；通过杨辉三角形的介绍，融入数学文化，培养文化自信. 问题3 观察图6.3-1，由二项式系数写成的杨辉三角形，你能发现哪些规律？ 师生活动 根据学生实际情况，教师用以下问题进行引导： （1）从左至右横行来看，有些什么规律？ （2）从上至下斜行来看，有什么发现？ （4）请计算每行的和，有什么发现？ 学生观察、思考、计算，在独立思考的基础上小组交流，再全班分享发现： （1）每行两端都是1，即；每行前后是对称的，即组合数性质；每行都是先增后减，中间的一个或两个值最大，即函数，当是偶数时，时取最大值；当是奇数时，，时取最大值. （2）从左至右与从右至左斜行是对称的，第一斜行全是1，第二斜行是数列，第三斜行是数列等. （3）某行每个数字都是上一行肩上相邻两数字之和，即组合数性质. （4）令，可得每行的和是，即的展开式的各二项式系数之和 上述问题由学生回答，教师边点评边板书本节课重点讨论的性质： 性质1：对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 性质2：增减性与最大值 当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项与相等，且同时取得最大值. 性质3：各二项式系数的和 的展开式的各项二项式系数的和等于，即 由杨辉三角形可以看出二项式系数有很多有趣的性质，同学们还可以利用课后时间继续研究，并查阅文献，写出研究小论文，以后再分享交流. 设计意图 通过从“横行看、斜行看、上下两行看、整体看、局部看”的不同角度的观察，让学生感受由二项式系数构成的杨辉三角形的奇妙，直观发现二项式系数性质，为后面的分析推导做铺垫，培养学生学习数学的兴趣. 环节三 纳入体系，寻求解释 问题4 对于的展开式的各二项式系数，令，这是以为自变量的函数.对于这个函数，你想研究一些什么问题？你能得出哪些结论？ 师生活动 学生独立思考，从函数性质的角度提出研究的问题，并与同学分享： 可以研究定义域、值域、单调性、最大（小）值、对称性等. 追问1 对于确定的，例如和，请画出的图象，比较它们的异同，你发现了什么规律？ 师生活动 学生独立作图，教师巡视指导 当n=6时，函数的图象是7个离散点；时，函数的图象是8个离散点，如图6.3-2所示 学生结合图6.3-1和图6.3-2可以发现： （1）图形具有对称性：从函数图象直接看出，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，函数图象的对称轴是. （2）图形增减性与最大值：从函数图象直观看出二项式系数的值具有先增后减的特征，当时，在时取得最大值；当时，在，时，同时取得最大值. 教师归纳总结：作出函数图象是分析单调性、对称性非常直观的方法. 设计意图 通过分析二项式系数的性质，帮助学生理解性质的同时，领悟几何直观、数形结合、特殊与一般等数学思想和方法，积累活动经验，培养分析和解决问题的能力. 追问2