6.3.1 二项式定理 教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3二项式定理 第1课时 二项式定理 教学内容 二项式定理. 教学目标 （1）通过运用多项式运算法则和计数原理对二项展开式的项的研究，能推导出二项式定理，发展逻辑推理、数学抽象等素养. （2）通过对二项展开式结构的分析与研究，能归纳二项式系数的性质，发展逻辑推理、数学运算素养. （3）能用二项式定理解决一些简单的数学问题，发展数学运算素养. 教学重点与难点 （1）教学重点：二项式定理的推导及其简单应用. （2）教学难点：二项式系数的推导. 教学过程设计 环节一 创设情境，提出问题 问题1 我们知道， 你能写出的展开式吗？为了能快速写出的展开式，你觉得应该做怎样的探究？ 师生活动 学生思考后交流，可能的想法有： （1）直接展开太复杂； （2）这里是不是隐藏一定规律，我们应该寻求二项展开式的一般性规律，即探究的展开式规律； （3）是不是可以往后退，从两个特例，中去寻找规律. 教师指出：运算是代数学的核心，而探寻运算规律是重中之重.在代数规律的探究中，归纳法是“根本大法”.也就是说，从一些具体实例中发现它们的共性，将共性推广到一般而猜想出规律，这是最常用的思想方法.这里要注意的是，在观察具体实例时要有一般性的眼光.下面就从，等展开式的共性分析人手，开启我们今天的探索之旅. 设计意图 从两个熟知的二项展开式和出发，通过较难展开的二项式来设置悬疑，激发学生的探究欲望.通过教师讲解，指明探究的思想方法，并且强调用一般性的眼光看待具体实例，以增强发现运算规律的可能性. 环节二 探究规律，推导定理 问题2 为了得到二项式定理，我们可以先分析一下时二项式的展开式的共同特征. （1）你能从出发，得到，的展开式吗？ （2）根据多项式的概念，你认为应从哪些角度观察三个公式的共同特征？由此你能得到关于展开式的哪些猜想？ （3）你能用上述递推方法得到的展开式吗？ 设计意图 引导学生有目的地观察、有逻辑地思考，而不是“撞大运”.在概念的指引下，观察多项式的“要素”即项数、次数、项及其系数的规律，这就是“玩概念”的含义.这里，教师要在“项的特征”上加强引导，如每一项的次数都是的次数从到0降幂排列，的次数从0到升幂排列等. 问题3 用上述递推的方法得出展开式的各项系数有困难.能否换个角度看问题呢？ 追问1 对于，你能抽象出展开式各项的一般形式吗？ 师生活动 估计学生独立得出有困难，可以安排一个合作学习，必要时也可以由教师讲解.教师指出：我们的目的不是为了求出某一项，而是为了从中发现规律，所以要用一般性眼光看待具体事例.这里思考展开式各项的一般形式，就是为了从中发现一般规律. 追问2 你能结合多项式相乘的过程，利用组合知识解释项的系数为什么等于2吗？ 师生活动 这是本节课的主要难点所在.教师可以通过如下问题引导学生思考： （1）这里要完成的“一件事情”是什么？ 先由学生独立思考、小组交流，再由教师组织全班一起交流讨论得出答案：要完成的“一件事情”是“得到展开式的项”. （2）如何完成？ 在学生独立思考、小组交流的基础上，学生代表发言、教师帮助总结：根据多项式乘法法则，可以分为两步，先从一个因式中取，有种取法；再从另一个因式中取，有种取法.根据分步乘法计数原理，取法共有种，也即的系数是. 追问3 类比上述分析，你能说明的展开式中的系数是，的系数是吗？ 师生活动 学生类比已有过程，独立完成，选代表发言：的展开式中，这一项相当于两个二项式都选不选，所以系数是；这一项相当于两个二项式都选不选，所以系数是. 追问4 仿照上述过程，你能推导出，的展开式吗？ 师生活动 由学生独立完成，然后全班交流. 设计意图 通过“换个角度”分析，引导学生根据多项式乘法法则，利用计数原理得到一种新的思路.其中的难点是“用一般眼光看展开式的项”、用计数原理解释展开过程.因为学生以前没有这方面的经验，而且学生不容易想到，所以采用教师讲解的方式，在此基础上让学生独立完成，展开式的系数取值情况分析，从而为下面归纳共性、得出猜想奠定基础. 问题4 归纳，，展开式的共性，你能得到哪些结论？你能由此猜想出的展开式吗？ 师生活动 学生先独立思考，再相互交流讨论，得出共性.这些共性用一般形式表示如下： （1）展开式的项数是）项； （2）每一项的次数是的次数按，，，，排列；的次数按，，，，排列； （3）系数的规律是，，，，. 由此容易得到如下猜想： 追问 你能用自己的语言说明上述猜想的正确性吗？ 师生活动 学生独立思考、小组内交流，阅读教科书，对照教科书的说法进行完善.在小组充分交流的基础上，教师可以通过以下问题引导学生总结： （1）你是从哪几个方面说明的二项展开式的正确性的？ （2）个相同的二项式相乘、多项式乘法法则和计数原理之间是如何建立联系的？ （3）你认