专题11.2正弦定理（九个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第二册）

专题11.2正弦定理 知识点1正弦定理 1.正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 （2）符号语言:在中, 2.正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①; ②; ③. 知识点3三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）； （3）是内切圆的半径). 知识点2判断三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 重难点1已知两角及一边解三角形 【例1】在中，若，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【例2】在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，，，则 . 【变式1-1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则＝ ，b＝ . 【变式1-2】在中，，，则 ； ． 【变式1-3】在中，已知，解这个三角形． ①根据三角形内角和定理求出第三个角；②根据正弦定理，求另外的两边．已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解． 重难点2已知两边及一角解三角形 【例3】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【例4】在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则 . 【变式2-1】在中，，，，则角B的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在中，，则（   ） A． B．或 C． D．或 【变式2-3】在中，角所对的边分别为，已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． ①根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值，判断解的情况；②先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三个角；③根据正弦定理求第三条边的长度． 重难点3三角形解的个数问题 【例5】在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例6】在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列条件判断三角形解的情况，正确的是 （填序号）； ①，，，有两解； ②，，，有一解； ③，，，无解； ④，，，有一解． 【变式3-2】在中角所对的边分别为，若，，，则（     ） A．当时， B．当时，有两个解 C．当时，只有一个解 D．对一切，都有解 【变式3-3】（多选）在中，角的对边分别为，且已知，则（    ） A．若，且有两解，则的取值范围是 B．若，且恰有一解，则的取值范围是 C．若，且为钝角三角形，则的取值范围是 D．若，且为锐角三角形，则的取值范围是 在中，以为例． （1）若或，则三角形有一解；（2）若，则三角形有两解； （3）若，则三角形无解． 重难点4利用正弦定理判断三角形形状 【例7】在中，角所对的边分别为，且，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【例8】在中，已知，试判断的形状． 【变式4-1】已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式4-2】在中，内角所对的边分别是，，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式4-3】在中，，则的形状是 ． （1）判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系． （2）注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如等． 重难点5求外接圆的半径 【例9】在中，角所对的边分别为，已知，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 【例10】已知在中，，，． (1)求的外接圆半径R； (2)求． 【变式5-1】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的外接圆半径为，且，则角 ． 【变式5-2】在中，内角所对的边分别为，. (1)求的值； (2)若，求外接圆的半径. 【变式5-3】记的内角A，，的对边分别为，，，，． (1)求； (2)若，求的外接圆的面积． 利用正弦定理即可求解 重难点6正余弦定理的综合应用 【例11】已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（    ） A．3 B． C． D．8 【例12】的内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)若，求的面积．