1.3.1 不等式性质 课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

不等式的性质 导入新课 问题1　一天，同学甲问同学乙：“你今年多少岁了？”乙回答说：“16岁了，你呢？”“我满15岁了，哈哈！再过一年，明年我们就一样大了！”乙默然．这个对话里面包含了什么数学知识呢？ 两人相差1岁，过一年，两人的年龄同时加1，不可能相等． 师生活动：学生分别用不等式表达，若有表达不准确，或表达困难的，引导学生先用符号表示题中的量，再用不等号表示问题中的不等关系． 设计意图：提炼生活中的不等关系式，让学生学会从现实问题中抽象出不等式，提升学生的学习兴趣． 2 导入新课 车速为v，行车道上的车速应该满足100 km/h≤v≤120 km/h 问题2　高速路上的限速标志，上面的数字是什么意思？ 师生活动：学生分别用不等式表达，若有表达不准确，或表达困难的，引导学生先用符号表示题中的量，再用不等号表示问题中的不等关系． 设计意图：提炼生活中的不等关系式，让学生学会从现实问题中抽象出不等式，提升学生的学习兴趣． 3 导入新课 问题3　今天我们来学习不等式的性质．因为不等式和等式一样，都是大小关系的刻画，所以我们可以从等式性质及其研究方法出发，通过类比研究不等式性质．首先梳理一下，等式都有哪些性质？ 性质1：如果a＝b，b＝c那么a＝c； 性质2：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质3：如果a＝b，那么ac＝bc； 如果a＝b，c≠0那么 师生活动：学生自主思考，教师通过提问，对等式性质不断完善．在提问过程中，让学生明白每一个性质反映出不等式的特性．学生容易回答出等式的性质3至5，对于性质1和2需要教师借助问题引导：“等式自身还有哪些特性？” 设计意图：从上节课所学的内容出发，引入本节课，有助于学生从整体上认识本节课的内容，同时通过等式和不等式的联系，明确不等式性质的研究是类比等式来研究的，确定研究方法． 4 导入新课 追问：观察等式的5条基本性质，哪些性质具有共性？是什么？ 性质2，3具有共性，它们都是在等式的两边进行了运算， 是从运算的角度提出的，性质2可以看作加法运算，性质3可以看作是乘法运算． 性质1是等式的对称性． 可见，等式的基本性质是“相等关系对运算保持不变”，反映了等式大小关系的本质属性． 师生活动：学生先观察，如果学生不能发现就由教师来讲解． 设计意图：通过学生回忆、分析等式的基本性质，并对性质分类、归纳和深入分析，梳理等式的基本性质的研究角度和方法，为研究不等式的基本性质明确方向． 5 新知探究 问题4　类比等式的性质，你能猜想不等式的性质吗？写出你的猜想． 性质1：如果a＞b，b＞c，那么a＞c； 性质2：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c； 性质3：如果a＞b，那么ac＞bc； 如果a＞b，c≠0，那么 猜想： 师生活动：学生独立思考，之后展示交流．如果学生有困难，教师可以提示从不等式的“运算”这个视角来研究不等式的基本性质． 设计意图：由学生自主发现研究问题的方法，用类比的方法来猜想出不等式的性质． 6 新知探究 追问1：类比得到的结论一定正确吗？如何论证或者反驳？ 性质1证明：a－b＞0，b－c＞0 根据两个正数的和还是正数，得（a－b）＋（b－c）＞0， ∴a－c＞0， 性质2证明：∵a＞b， ∴（a＋c）－（b－c）＝a－b＞0， ∴a＞c． ∴a－b＞0， ∴a＋c＞b＋c． 性质1：如果a＞b，b＞c，那么a＞c； 性质2：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c； 性质1，2是正确的 师生活动：教师引导学生从第一个性质开始，逐一进行分析，在对不等式性质1－3的分析中，教师引导学生从实数的大小关系的基本事实及实数的其他性质进行证明，首先将条件用实数大小关系表示出来，再利用大小关系进行证明．由于学生对代数证明比较生疏，所以教师可以示范其中之一，然后学生模仿完成．注意订正学生在此处证明中容易出现循环论证的错误． 实数的其他性质有： （1）两个实数大小关系的基本事实； （2）正数大于0，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数； （3）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数； （4）两个正数的和是正数，两个负数的和是负数； （5）同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数． 但是，不需要一下子提供给学生，在需要的时候指明即可． 7 新知探究 追问2：从不同角度表达不等式的性质，可以加深理解，用文字语言怎样表达性质2？ 不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向． 师生活动：教师引导学生先独立思考，再进行交流．并不断对学生的语言表述进一步规范． 8 新知探究 问题5　上述的性质3正确吗？为什么？如果不正确，应该怎样修正？ 性质3：如果a＞b， c＞0 那么ac＞bc； 如果a＞b， c＜0 那么ac ＜ bc； 不正确 师生活动：学生发现两个结论不正确，并通过举例进行反驳．教师引导