2024年中考九年级数学专题复习：二次函数中的平行四边形存在性问题

2024年中考九年级数学专题复习： 二次函数中的平行四边形存在性问题 1．如图，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，直线经过B，C两点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)已知P为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，以为对角线画平行四边形，将抛物线的顶点沿直线平移得到的抛物线恰好经过点M，求平移后的抛物线的函数表达式． 2．如图，抛物线与y轴交于A点，其顶点为D．直线分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线相交于E点． (1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）； (2)将沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值； (3)抛物线上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 3．如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求点的坐标； (3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为，问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求线段最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标． 5．如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线与直线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最小值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，交轴于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方抛物线上任意一点，过点作的垂线，交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线向左平移4个单位，得到新的抛物线，点为点的对应点，点为新抛物线的对称轴上任意一点．在新抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 7．如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．    (1)请直接写出点，，的坐标； (2)点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． (3)点是抛物线上的动点，作交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，顶点为A的抛物线交x轴于点，连接，过原点O作射线，过点A作轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接． (1)求抛物线的解析式（关系式）； (2)求点A，B所在的直线的解析式（关系式）； (3)若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动，设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，四边形为平行四边形？当t为何值时，四边形为等腰梯形？ 9．抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线经过B，C两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点，为边的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标． (3)如图②，P为直线上方的抛物线上一点，轴交于D点，过点D作于E点．设，求m的最大值． 10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，顶点为点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点G的坐标； (2)当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)如图2，在（2）的条件下，是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点在点上方），连接、，当四边形周长取最小值时，求点的坐标；在此条件下，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 11．在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)如图1，若点P是直线上方的抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标及的面积最大值； (3)在（2）的条件下，若点M是抛物线上一点，点N是x轴上一点，是否