吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高三下学期一模数学试题

高三数学 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是 A．9 B．8 C．7 D．4 2．已知向量满足，则a(a-b)的值为 A．4 B．3 C．2 D．0 3．已知，，，则 A． B． C． D． 4．已知椭圆G：，A,B为G的短轴端点，P为G上异于A,B的一点，则直线AP,BP的斜率之积为 A． B． C． D． 5．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的 视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形， 每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力的视标边长约为10cm，则视力的视标边长约为 A． B． C． D． 6. 辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称. 已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为（ ） A. 14.4 B. 9.6 C. 24 D. 48 7. 已知动点在直线上，过总能作圆的两条切线，切点为，且恒成立，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，则（　　） A. 10000 B. 10082 C. 10100 D. 10302 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知、都是复数，下列正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 10. 为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ） A. 向左平行移动个单位 B. 向左平行移动个单位 C. 向右平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位 11. 已知是直线上的动点，为坐标原点，过作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 当点为直线与轴的交点时，直线经过点 B. 当为等边三角形时，点的坐标为 C. 的取值范围是 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为______. 13. 在的展开式中，含的项的系数是______.（用数字作答） 14. 已知为等腰三角形，其中，点D为边AC上一点，.以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C，则椭圆E的离心率的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）设，证明：. 16. 如图，三棱锥中，平面平面，且，． （1）证明：平面； （2）若，点满足，求二面角的大小． 17. 如图，平行六面体中，分别为的中点，在上. （1）求证：平面； （2）若平面，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知抛物线焦点为，其准线与轴交于点，过点的直线与交于两点（点在点的左侧）. （1）若点是线段的中点，求点的坐标； （2）若直线与交于点，记内切的半径为，求的取值范围. 19. 黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（，s为常数）密切相关，请解决下列问题． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时； ①证明有唯一极值点； ②记的唯一极值点为，讨论的单调性，并证明你的结论． 1-8 DCBCA ADC 9 BD 10ACD 11ABC 12 0 13 -3 14 15 （1） 2 证明：由题意知， 故 ， 由于，则，故， 即. 16 过作于点，平面平面，且平面平面，平面， 故平面．又平面，． 又，，平面，平面， 所以平面， （2） 17 证明：如图，设的中点为，连接. ∵为的中点， ∴且. 又为的中点，且四边形是平行四边形， ∴且 ∴四边形为平行四边形. ∴. 又∵平面平面， ∴平面. （2）. 18 （1）或 （2） 19 1 由可得 ， 令，则； 又，，所以，即恒成立； 即函数在上单调递减， 又，所以， 可得恒成立，因此函数在上单调递减， 即当时，函数在上单调递减； 2 当时， ①由（1）可知 令，可得, 易知当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 即函数在处取得极大值，也是最大值； 注意到，由单调性可得，可知在大于零， 不妨取，则； 由零点存在定理可知存在唯一变号零点， 所以存在唯一变号零点满足， 由单调性可得，当时，，当时，； 即可得函数在上单