利用空间向量求空间角与距离专题练-2024届高考数学一轮基础知识复习

利用空间向量求空间角与距离 一、单选题 1．在正方体中，为线段上的动点，则与直线夹角为定值的直线为（   ） A． B． C． D． 2．两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（    ）．    A． B． C． D． 6．在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（    ） A． B． C． D． 9．如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 10．已知二面角的大小为，点B、C在棱l上，，，，，则AD的长为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，分别是底面与侧面的中心，为该正方体表面上的一个动点，且满足，记点的轨迹所在的平面为，则过四点的球面被平面截得的圆的周长是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在圆锥中，，是上的动点，是的直径，，是的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，，若，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知直线l过点，且直线l的一个方向向量为，则坐标原点O到直线l的距离d为 . 14．已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 15．在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点在面上，且，则线段长度的取值范围为 ． 16．在正四棱柱中，底面边长为1，高为3，则异面直线与AD所成角的余弦值是 . 17．如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为 . 18．如图，在正方体ABCD—中，E为棱的中点，动点P沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列四个结论： ①存在点P，使得； ②存在点P，使得平面平面； ③的面积越来越小； ④四面体的体积不变. 所有正确的结论的序号是 . 三、解答题 19．如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 20．如图，菱形的边长为，，将沿向上翻折，得到如图所示得三棱锥.    (1)证明：； (2)若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 21．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.求直线到平面的距离； 22．如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，.求直线与平面的夹角.    参考答案： 1．C 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，，， ，，，，， 设，，即，， ； 对于A，不是定值，A错误； 对于B，不是定值，B错误； 对于C，， 直线与所成角为定值，C正确； 对于D，不是定值，D错误. 2．A ∵两平行平面分别经过坐标原点O和点， 且两平面的一个法向量， ∴两平面间的距离． 3．A ∵平面的方程为， ∴平面的一个法向量为， 同理，可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为． 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成的角为，则． 4．A 在平行六面体中，不妨设，，． ,， ，， 所以，， ， 所以E到直线的距离为， 5．D 平面,平面, 平面, 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系.    则 设平面的法向量为，则 ，令，则 设点到平面的距离为，则 故直线到平面的距离为. 6．A 解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ． 设平面的法向量为， 则即， 令，则， ，∴点到平面的距离为． 故选：A. 解法二  底面， ，又，且平面， 平面， 平面 ， ， ， ， 在中，，