专题六 分式方程-2024年考数学一轮复习进阶讲义

专题六 分式方程——2024届中考数学一轮复习进阶讲义 考情分析 命题点 命题形式 命题热度 命题特点 分式方程及其解法 1.分式方程的解法 本专题从定义和解答方面命题,多以选择题和填空题的形式出现,解答题通常考查解分式方程和列方程解应用题,重点考查学生化分为整的能力,体现了转化与化归的数学思想 2.分式方程的含参问题 分式方程的实际应用 3.分式方程的实际应用 讲解一:分式方程及其解法知识复习 一、分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 1.与整式方程的区别是分母中是否含有未知数 2.并不是含有分母的方程就时分式方程,必须是分母中含有未知数的方程才是分式方程 二、分式方程的解法 解分式方程的基本思路是通过去分母把分式方程转化为整式方程,再求解 下表以解分式方程为例: 步骤 具体操作方法 举例 ①去分母 方程两边同乘最简公分母,化为整式方程 方程两边同乘,得 ②解方程 解整式方程 解得 ③检验 把整式方程的解代入最简公分母 最简公分母不为0,是分式方程的解 当时,,所以是原方程的解 最简公分母为0,不是分式方程的解,是增根 当时,,所以不是原方程的解,是增根 ④写解 是原分式方程的解或原分式方程无解 故是原分式方程的解 1.检验是解分式方程必不可少的步骤 2.分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解 【拓展延伸】 (1)对增根产生的原因理解如下:增根是在解分式方程的第一步,即去分母时产生的,根据方程的同解原理,方程两边都乘(或除以)同一个不为0的数,所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边同时乘0,那么所得方程与原方程不是同解方程,这时求得的根就是原方程的增根. (2)解含字母的分式方程,需要注意的是,要找准哪个字母表示未知数,哪个字母表示已知数,同时还要注意题目中所给的限制条件. (3)根据分式方程有增根求字母参数的值的一般步骤:①把分式方程化为整式方程;②令最简公分母为0,求出未知数的值;③把未知数的值代入整式方程,从而求出字母参数的值. 命题精练 命题形式1 分式方程的解法 1.【2023.北京】方程的解为_. 答案: 解析:方程两边同乘,得,解得,检验:当时,,故原分式方程的解为. 2.【2023.江苏苏州】分式方程的解为_. 答案:-3 解析:,去分母,得,去括号,得,移项、合并同类项,得.当时,,故是原分式方程的解. 3.【2023.山西】解方程:. 答案: 解析:原方程可化为. 方程两边同乘,得. 解得. 检验:当时,. 原方程的解是. 4.【2023.广西】解分式方程:. 答案:-1 解析:方程两边同乘,得. 移项、合并同类项,得. 检验:当时,. 所以原分式方程的解为. 5.【2023.江苏连云港】解方程:. 答案: 解析:方程两边同乘, 得, 解得. 检验:当时,, 是原方程的解. 命题形式2 分式方程的含参问题 6.分式方程无解,则a的值是( ) A.3或2 B.3 C.或3 D.或2 答案:A 解析:, 两边同时乘得,, 去括号得,, 移项合并得,, 系数化为1得,, ①当即时,整式方程无解,则分式方程无解; ②当即时,整式方程有解,经检验是分式方程的增根; 综上,a的值为3或2, 故选:A. 7.关于x的分式方程的解是负数,则字母m的取值范围是( ) A. B.且 C.且 D.且 答案:C 解析:,方程两边同时乘以得:, 解得:, , 即, 解得:, 又方程的解是负数, , 解不等式得:, 综上可知:且, 故选:C. 8.分式方程有增根,则m的值为( ) A.3 B.6 C.1或 D.0或6 答案:B 解析:将原式去分母得:, , , 方程有增根, 或, 或, 或, 当时,方程无解, , 故选:B. 讲解二:分式方程的实际应用知识复习 列分式方程解决实际问题 列分式方程常用的等量关系 (1)行程问题: (2)利润问题: (3)工程问题:总工作量=各个分工作量之和. (4)销售问题:. 列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审:审清题意,弄清已知量和未知量;找出已知的或隐含的等量关系,常用表格分析法. (2)设:设未知数(既可以设直接未知数,也可以设间接未知数). (3)列:列出分式方程. (4)解:解这个方程. (5)验:检验,既要检验所求得的根是不是所列分式方程的解,又要检验所求得的根是否符合实际意义. (6)答:写出答案. 【拓展延伸】 (1)在实际问题中,有时题目中包含多个相等的数量关系,在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的等量关系. (2)在检验过程中,不仅要检验所得的根是否为原分式方程的根,还要检验这个根在实际问题中是否具有实际意义,如时间非负,人数非负等. (3)在一些实际问题中,有时直接设问题所求的量为未知数比较麻烦,所以可以间接地设未