第1章三角形的证明集训课堂练素养2角平分线中常用的作辅助线的方法 练习课件 2023-2024学年数学北师大版八年级下册

北师版 八年级下 第一章 三角形的证明 2.角平分线中常用的作辅助线的方法 练素养 1 2 3 4 温馨提示：点击 进入讲评 习题链接 如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线． 1 集训课堂 3 【证明】如图，分别过点D作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G. ∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D， ∴DE＝DG，DF＝DG.∴DE＝DF. 又∵DE⊥BA，DF⊥AC， ∴AD是∠BAC的外角平分线． 集训课堂 4 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B.求证：AC＋CD＝AB. 2 集训课堂 集训课堂 ∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠C＝∠B＋∠EDB. 又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝∠EDB.∴BE＝DE. ∴BE＝CD. ∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD， 即AC＋CD＝AB. 集训课堂 【点技巧】 本题运用截取法，在AB上截取AE＝AC，再利用角平分线的性质和等角对等边，得到CD＝DE＝BE，从而即可得证． 集训课堂 8 如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO交AO于点D，AE⊥BD交BD的延长线于点E.求证：BD＝2AE. 3 集训课堂 【证明】如图，延长AE交BO的延长线于点F. ∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°. ∵BD平分∠ABO， ∴∠ABE＝∠FBE. 又∵BE＝BE， ∴△ABE≌△FBE(ASA)． ∴AE＝FE.∴AF＝2AE. 集训课堂 ∵∠AOF＝∠BEF＝90°， ∴∠OAF＋∠AFO＝90°，∠OBD＋∠AFO＝90°. ∴∠OAF＝∠OBD. 又∵OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°， ∴△AOF≌△BOD(ASA)．∴AF＝BD. ∴BD＝2AE. 集训课堂 【点技巧】 等腰三角形是个轴对称图形，“三线”所在的直线是对称轴，它将等腰三角形一分为二，若在图中出现其中一半，则可通过补形，构造出“三线合一”的基本图形． 集训课堂 12 (荣德原创题)如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线． 求证：BE＋CF>EF. 4 集训课堂 【证明】如图，在AD上截取DH＝BD，连接EH，FH. ∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝DH. ∵DE平分∠ADB，∴∠BDE＝∠HDE. 又∵DE＝DE， ∴△BDE≌△HDE(SAS)．∴BE＝HE. 同理可证△CDF≌△HDF，∴CF＝HF. 在△HEF中，∵HE＋HF>EF，∴BE＋CF>EF. 集训课堂 【证明】如图，在AB上截取AE＝AC，连接DE. ∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD. 在△ADE和△ADC中， ∴△ADE≌△ADC(SAS)．∴ED＝CD，∠AED＝∠C. $$